14. (★★)如图,已知$BE⊥ AC$于点$E$,$CF⊥ AB$于点$F$,$BE$,$CF$相交于点$D$,若$BD=CD$,求证:$AD$平分$∠ BAC$。

$\because\ \ BE ⊥ AC$,$CF⊥AB$,
$\therefore\ \ ∠DEC = ∠DFB=90°$。
在$△ DFB$和$△ DEC$中,
$\begin{cases}∠DFB=∠DEC,\\∠BDF=∠CDE,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ DFB≌△ DEC(\mathrm{AAS})$。
$\therefore\ \ DE=DF$。
$\because\ \ BE⊥AC,CF⊥AB$,
$\therefore\ \ AD$平分$∠BAC$。

15. (★★)如图,在$△ ABC$中:
(1)下列操作,作$∠ ABC$的平分线的正确顺序是(填序号)。
①分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,在$∠ ABC$内,两弧交于点$P$;
②以点$B$为圆心,适当长为半径作圆弧,交$AB$于点$M$,交$BC$于点$N$;
③作射线$BP$,交$AC$于点$D$。
(2)连接$PM$,$PN$,能说明$△ BPM≌△ BPN$的依据是(填序号)。
①SSS;②ASA;③AAS;④角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(3)如图,过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$,若$BC=12$,$△ BCD$的面积是24,$△ ADE$的周长为12,求$AD$的长。

(1)②①③；(2)①；
(3)如图,过点$D$作$DF ⊥ BC$于点$F$。
$\because\ \ BD$平分$∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC$,
$\therefore\ \ DF=DE$。
$\because\ \ BC=12$,$△ BCD$的面积是24,
$\therefore\ \ \frac{1}{2} · BC · DF = 24$,即$\frac{1}{2}×12×DF = 24$。
解得$DF=4$。
$\therefore\ \ ED=DF=4$。
$\because\ \ △ ADE$的周长为12,
$\therefore\ \ AE+AD=12-4=8$。
在$\mathrm{Rt} △ AED$中,由勾股定理,得$AD^{2} = AE^{2}+ED^{2}$。
$\therefore\ \ AD^{2}=(8-AD)^{2}+4^{2}$。
解得$AD=5$。
$\therefore\ \ AD$的长为5。