3. 【问题初探】
(1) 在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图 5 - 2 - 35①，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$。点 $D$ 在 $△ ABC$ 外，连接 $AD$，$BD$，$CD$，且 $∠ BDC = ∠ BAC$。过 $A$ 作 $AE ⊥ BD$ 于点 $E$。请说明：$BE = CD + DE$。
如图 5 - 2 - 35②，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在 $BD$ 上截取 $BF = CD$，连接 $AF$，将线段 $BE$，$CD$，$DE$ 之间的数量关系转化为线段 $DE$ 与 $EF$ 之间的数量关系。请你根据小辉同学的解题思路，写出解题过程。
【类比分析】
(2) 张老师发现小辉同学运用了转化思想，将三条线段之间的数量关系转化为两条线段之间的数量关系。为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答。如图 5 - 2 - 35③，$△ ABC$ 为等边三角形，$△ ACD$ 是等腰直角三角形，其中 $AC = AD$，$∠ CAD = 90°$，$AE$ 是 $CD$ 边上的中线，连接 $BD$ 交 $AE$ 与点 $F$。请说明：$BF = AF + DF$。
【学以致用】
(3) 如图 5 - 2 - 35④，在 $△ ABC$ 中，$AC = BC$，$∠ ACB = 90°$，点 $D$ 在 $AB$ 边上，过 $B$ 作 $BE ⊥ CD$ 交 $CD$ 延长线于点 $E$，延长 $EB$ 至点 $F$，连接 $CF$，使 $∠ BCF = ∠ ABE$，连接 $AF$ 交 $CD$ 于点 $G$，若 $BE = \frac{8}{3}$，$CE = \frac{22}{3}$，求 $△ EGF$ 的面积。

解:[问题初探](1)如答图5 - 2 - 13，设AC与BD交于点O。因为$∠BAC=∠BDC$，$∠AOB=∠COD$，所以$∠ABF=∠ACD$。又因为$AB=AC$，$BF=CD$，所以$△ ABF≌△ ACD(SAS)$，所以$AF=AD$。因为$AE⊥DF$，所以$FE=DE$。因为$BE=BF+EF$，所以$BE=CD+DE$。

[类比分析]
(2)如答图5 - 2 - 14，在BF上截取$BH=DF$，连接AH。因为$△ ABC$为等边三角形，所以$AB=AC$，$∠BAC=60°$。又因为$△ ACD$为等腰直角三角形，$AC=AD$，$∠CAD=90°$，所以$∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+90°=150°$，$AB=AD$，所以$∠ABD=∠ADB=\frac{180°-150°}{2}=15°$。又因为$BH=DF$，所以$△ ABH≌△ ADF(SAS)$，所以$AH=AF$。因为AE是CD边上的中线，所以AE平分$∠CAD$，所以$∠DAE=45°$，所以$∠AFH=180°-∠AFD=180°-(180°-∠ADB-∠DAE)=∠ADB+∠DAE=15°+45°=60°$，所以$△ AHF$是等边三角形，所以$AF=HF$，所以$BF=HF+BH=AF+DF$。

[学以致用]
(3)如答图5 - 2 - 15，过A作$AH⊥CD$于H，因为$∠CBE=∠ABC+∠ABE=180°-∠CBF=180°-(180°-∠BCF-∠BFC)=∠BCF+∠BFC$，$∠ABE=∠BCF$，所以$∠BFC=∠ABC=45°$。又因为$BE⊥CD$于E，所以$∠CEF=90°$，所以$∠ECF=∠EFC=45°$，所以$EF=CE=\frac{22}{3}$。因为$AH⊥CD$于H，所以$∠AHC=∠ACB=90°$，所以$∠ACH+∠CAH=∠ACH+∠BCE$，所以$∠CAH=∠BCE$。又因为$∠AHC=∠BEC=90°$，$AC=BC$，所以$△ ACH≌△ CBE(AAS)$，所以$AH=CE$，$CH=BE=\frac{8}{3}$。所以$AH=EF$。又因为$∠AHG=∠FEG$，$∠AGH=∠FGE$，所以$△ AHG≌△ FEG(AAS)$，所以$GH=GE$。因为$CE=\frac{22}{3}$，$CH=\frac{8}{3}$，所以$EH=CE - CH=\frac{22}{3}-\frac{8}{3}=\frac{14}{3}$，所以$GH=GE=\frac{1}{2}EH=\frac{1}{2}×\frac{14}{3}=\frac{7}{3}$，所以$S_{△ EGF}=\frac{1}{2}EF· EG=\frac{1}{2}×\frac{22}{3}×\frac{7}{3}=\frac{77}{9}$。