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二、拓展性作业
1. 如图 6-3-4 所示，把一个边长为 $ 12 \mathrm{ cm} $ 的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化。
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果小正方形的边长为 $ x \mathrm{ cm} $，图中阴影部分的面积为 $ y \mathrm{ cm}^2 $，请写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(3)当小正方形的边长由 $ 1 \mathrm{ cm} $ 变化到 $ 5 \mathrm{ cm} $ 时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？
1. 如图 6-3-4 所示，把一个边长为 $ 12 \mathrm{ cm} $ 的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化。
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果小正方形的边长为 $ x \mathrm{ cm} $，图中阴影部分的面积为 $ y \mathrm{ cm}^2 $，请写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(3)当小正方形的边长由 $ 1 \mathrm{ cm} $ 变化到 $ 5 \mathrm{ cm} $ 时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？
答案
1. 解：(1)因为当小正方形的边长由小到大变化时，题图中阴影部分的面积也随之发生变化，
所以小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量。
(2)由题意可得：$ y = 12^2 - 4x^2 = 144 - 4x^2 $。
(3)由(2)知：$ y = 144 - 4x^2 $，
当小正方形的边长由 $ 1 cm $ 变化到 $ 5 cm $ 时，$ x $ 增大，$ x^2 $ 也随之增大，$ -4x^2 $ 则随着 $ x $ 的增大而减小，所以 $ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小。
当 $ x = 1 cm $ 时，$ y $ 有最大值，$ y_{最大} = 144 - 4×1^2 = 140(cm^2) $。
当 $ x = 5 cm $ 时，$ y $ 有最小值，$ y_{最小} = 144 - 4×5^2 = 44(cm^2) $。
所以当小正方形的边长由 $ 1 cm $ 变化到 $ 5 cm $ 时，题图中阴影部分的面积由 $ 140 cm^2 $ 变化到 $ 44 cm^2 $。
所以小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量。
(2)由题意可得：$ y = 12^2 - 4x^2 = 144 - 4x^2 $。
(3)由(2)知：$ y = 144 - 4x^2 $，
当小正方形的边长由 $ 1 cm $ 变化到 $ 5 cm $ 时，$ x $ 增大，$ x^2 $ 也随之增大，$ -4x^2 $ 则随着 $ x $ 的增大而减小，所以 $ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小。
当 $ x = 1 cm $ 时，$ y $ 有最大值，$ y_{最大} = 144 - 4×1^2 = 140(cm^2) $。
当 $ x = 5 cm $ 时，$ y $ 有最小值，$ y_{最小} = 144 - 4×5^2 = 44(cm^2) $。
所以当小正方形的边长由 $ 1 cm $ 变化到 $ 5 cm $ 时，题图中阴影部分的面积由 $ 140 cm^2 $ 变化到 $ 44 cm^2 $。
2. “五一”期间，小明和父母一起开车到距家 $ 200 \mathrm{ km} $ 的某景点旅游，出发前，汽车油箱内储油 $ 45 \mathrm{ L} $，当行驶 $ 150 \mathrm{ km} $ 时，发现油箱余油量为 $ 30 \mathrm{ L} $（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）。
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程 $ x $（$ \mathrm{km} $）与油箱剩余油量 $ Q $（$ \mathrm{L} $）之间的关系式。
(2)当 $ x = 280 \mathrm{ km} $ 时，求油箱剩余油量 $ Q $ 的值。
(3)当油箱剩余油量低于 $ 3 \mathrm{ L} $ 时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由。
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程 $ x $（$ \mathrm{km} $）与油箱剩余油量 $ Q $（$ \mathrm{L} $）之间的关系式。
(2)当 $ x = 280 \mathrm{ km} $ 时，求油箱剩余油量 $ Q $ 的值。
(3)当油箱剩余油量低于 $ 3 \mathrm{ L} $ 时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由。
答案
2. 解：(1)该车平均每千米的耗油量为 $ (45 - 30)÷150 = 0.1(L) $，
行驶路程 $ x(km) $ 与油箱剩余油量 $ Q(L) $ 之间的关系式为 $ Q = 45 - 0.1x $。
(2)当 $ x = 280 km $ 时，$ Q = 45 - 0.1×280 = 17(L) $。
(3)他们能在汽车报警前回到家。理由：$ (45 - 3)÷0.1 = 420(km) $，
因为 $ 420＞200×2 $，
所以他们能在汽车报警前回到家。
行驶路程 $ x(km) $ 与油箱剩余油量 $ Q(L) $ 之间的关系式为 $ Q = 45 - 0.1x $。
(2)当 $ x = 280 km $ 时，$ Q = 45 - 0.1×280 = 17(L) $。
(3)他们能在汽车报警前回到家。理由：$ (45 - 3)÷0.1 = 420(km) $，
因为 $ 420＞200×2 $，
所以他们能在汽车报警前回到家。
3. 某城市为了加强公民的节约能源意识，按以下规定收取每月天然气费：所用天然气如果不超过 $ 50 \mathrm{ m}^3 $，按每立方米 $ 2.8 $ 元收费；如果超过 $ 50 \mathrm{ m}^3 $，超过部分按每立方米 $ 3.2 $ 元收费。设小丽家每月用天然气量为 $ x \mathrm{ m}^3 $，应交天然气费为 $ y $ 元。
(1)若小丽家某月用天然气量为 $ 80 \mathrm{ m}^3 $，则小丽家该月应交天然气费多少元？
(2)试写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(3)若小丽家 4 月的天然气费为 268 元，那么小丽家 4 月所用天然气为多少立方米？
(4)已知小丽家 6 月的天然气费平均每立方米 $ 2.95 $ 元，那么小丽家 6 月用了多少立方米的天然气？
(1)若小丽家某月用天然气量为 $ 80 \mathrm{ m}^3 $，则小丽家该月应交天然气费多少元？
(2)试写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(3)若小丽家 4 月的天然气费为 268 元，那么小丽家 4 月所用天然气为多少立方米？
(4)已知小丽家 6 月的天然气费平均每立方米 $ 2.95 $ 元，那么小丽家 6 月用了多少立方米的天然气？
答案
3. 解：(1)根据题意得小丽家该月应交天然气费为 $ 2.8×50 + 3.2×(80 - 50) = 236(元) $。
(2)当 $ x≤50 $ 时，$ y = 2.8x $；
当 $ x＞50 $ 时，$ y = 2.8×50 + 3.2(x - 50) = 3.2x - 20 $。
(3)设小丽家 4 月所用天然气为 $ x m^3 $，
因为 $ 2.8×50 = 140(元) $，而 $ 268＞140 $，
所以根据题意得 $ 3.2x - 20 = 268 $，
解得 $ x = 90 $，
所以小丽家 4 月所用天然气为 $ 90 m^3 $。
(4)设小丽家 6 月用了 $ a m^3 $ 的天然气，
根据题意得 $ 3.2a - 20 = 2.95a $，
解得 $ a = 80 $，
所以小丽家 6 月用了 $ 80 m^3 $ 的天然气。
(2)当 $ x≤50 $ 时，$ y = 2.8x $；
当 $ x＞50 $ 时，$ y = 2.8×50 + 3.2(x - 50) = 3.2x - 20 $。
(3)设小丽家 4 月所用天然气为 $ x m^3 $，
因为 $ 2.8×50 = 140(元) $，而 $ 268＞140 $，
所以根据题意得 $ 3.2x - 20 = 268 $，
解得 $ x = 90 $，
所以小丽家 4 月所用天然气为 $ 90 m^3 $。
(4)设小丽家 6 月用了 $ a m^3 $ 的天然气，
根据题意得 $ 3.2a - 20 = 2.95a $，
解得 $ a = 80 $，
所以小丽家 6 月用了 $ 80 m^3 $ 的天然气。
