5. 如图,已知$AP// BC$,$∠ PAB$的平分线与$∠ CBA$的平分线相交于点$E$,连接$CE$并延长交$AP$于点$D$.求证:$AD+BC=AB$.

5. 证明:如图,延长BE交AP于点F.
∵AP//BC,
∴∠AFE=∠CBE.
∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,
∴∠FAE=∠BAE,∠CBE=∠ABE,
∴∠AFE=∠ABE. 在△AFE和△ABE中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠ABE, \\ ∠FAE=∠BAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AFE≌△ABE(AAS),
∴FE=BE,AF=AB. 在△DEF和△CEB中,
$\begin{cases} ∠DFE=∠CBE, \\ FE=BE, \\ ∠FED=∠BEC, \end{cases}$
∴△DEF≌△CEB(ASA),
∴DF=BC,
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB.

【分析】
要证明AD+BC=AB，属于线段和差类证明问题，常用截长补短的思路求解。本题结合AP//BC的平行条件，以及AE、BE分别为角平分线的已知条件，可通过延长BE交AP于点F构造全等三角形：第一步先利用平行线性质+角平分线定义证明△AFE≌△ABE，得到AB=AF、FE=BE；第二步再证明△DEF≌△CEB，得到BC=DF，最后通过线段和的代换即可推出结论。
【解析】
证明：如图，延长BE交AP于点F。
∵AP//BC，
∴∠AFE=∠CBE（两直线平行，内错角相等）。
∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，
∴∠FAE=∠BAE，∠CBE=∠ABE，
∴∠AFE=∠ABE。
在△AFE和△ABE中：
$\begin{cases} ∠AFE=∠ABE, \\ ∠FAE=∠BAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AFE≌△ABE（AAS），
∴FE=BE，AF=AB。
在△DEF和△CEB中：
$\begin{cases} ∠DFE=∠CBE, \\ FE=BE, \\ ∠FED=∠BEC, \end{cases}$
∴△DEF≌△CEB（ASA），
∴DF=BC，
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB，即AD+BC=AB。
【答案】
证明:如图,延长BE交AP于点F.
∵AP//BC,
∴∠AFE=∠CBE.
∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,
∴∠FAE=∠BAE,∠CBE=∠ABE,
∴∠AFE=∠ABE. 在△AFE和△ABE中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠ABE, \\ ∠FAE=∠BAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AFE≌△ABE(AAS),
∴FE=BE,AF=AB. 在△DEF和△CEB中,
$\begin{cases} ∠DFE=∠CBE, \\ FE=BE, \\ ∠FED=∠BEC, \end{cases}$
∴△DEF≌△CEB(ASA),
∴DF=BC,
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB.

【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的线段和差证明问题，核心解题思路是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的待证线段转化到同一条线段上进行代换。解题时要注意结合已知的平行、角平分线条件寻找全等的对应角和对应边，熟练掌握这类构造全等的辅助线方法，可快速解决同类线段和差证明问题。
【难度系数】
0.6

6. 如图，AD是$△ ABC$的中线，点E在BC的延长线上，$CE=AB$，$∠ BAC=∠ BCA$. 求证：$AE=2AD$.

6. 证明:如图,延长AD至点M,使DM=AD,连接CM.
∵AD是△ABC的中线,
∴DB=CD. 在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases} AD=MD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD(SAS),
∴AB=MC,∠B=∠MCD.
∵AB=CE,
∴CM=CE.
∵∠BAC=∠BCA,
∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD,即∠ACM=∠ACE. 在△ACM和△ACE中,
$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACM=∠ACE, \\ CM=CE, \end{cases}$
∴△ACM≌△ACE(SAS),
∴AE=AM.
∵AM=2AD,
∴AE=2AD.

【分析】
要证明AE=2AD，属于线段倍分关系的证明，可采用倍长中线的思路求解：①首先观察到AD是△ABC的中线，因此可通过延长AD至M，使DM=AD，将2AD转化为线段AM，此时只需证明AM=AE即可完成求证；②倍长AD后，可先利用SAS证明△ABD≌△MCD，得到AB=CM、∠B=∠MCD，结合已知CE=AB，可推得CM=CE；③再根据∠BAC=∠BCA，通过角的和差关系推导得到∠ACM=∠ACE，进而用SAS证明△ACM≌△ACE，即可得到AM=AE，最终推导得出结论。
【解析】
证明：如图，延长AD至点M，使DM=AD，连接CM。
∵AD是△ABC的中线，
∴DB=CD。
在△ABD和△MCD中，
$\begin{cases} AD=MD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB=MC，∠B=∠MCD。
∵AB=CE，
∴CM=CE。
∵∠BAC=∠BCA，
∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD，即∠ACM=∠ACE。
在△ACM和△ACE中，
$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACM=∠ACE, \\ CM=CE, \end{cases}$
∴△ACM≌△ACE（SAS），
∴AE=AM。
∵AM=2AD，
∴AE=2AD。
【答案】
证明:如图,延长AD至点M,使DM=AD,连接CM.
∵AD是△ABC的中线,
∴DB=CD. 在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases} AD=MD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD(SAS),
∴AB=MC,∠B=∠MCD.
∵AB=CE,
∴CM=CE.
∵∠BAC=∠BCA,
∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD,即∠ACM=∠ACE. 在△ACM和△ACE中,
$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACM=∠ACE, \\ CM=CE, \end{cases}$
∴△ACM≌△ACE(SAS),
∴AE=AM.
∵AM=2AD,
∴AE=2AD.

【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形线段倍分证明的典型题型，核心解题思路是利用倍长中线构造全等三角形，将分散的边、角条件集中，把倍分关系转化为两条单线段的相等关系进行证明，熟练掌握倍长中线这一辅助线的作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

7. 如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,点E、F分别在AB、AC上,且$DE⊥ DF$.求证:$BE+CF＞EF$.

7. 证明:如图,延长ED至点M,使DM=DE,连接FM、CM.
∵D是BC中点,
∴BD=DC. 在△BDE和△CDM中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDM, \\ DE=DM, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDM(SAS),
∴BE=CM.
∵DE=DM, DF⊥EM,
∴FE=FM.
∵CM+CF＞FM,
∴BE+CF＞EF.

【分析】
要证明BE+CF＞EF，需将三条分散的线段转化到同一个三角形中，利用三角形三边关系证明。观察到D是BC的中点，可采用倍长中线法构造全等三角形：延长ED到M使DM=DE，先通过SAS证明△BDE≌△CDM，将BE转化为CM；再结合DE⊥DF，可得DF是EM的垂直平分线，进而得到EF=FM；此时BE（即CM）、CF、EF（即FM）恰好为△CFM的三条边，利用三角形两边之和大于第三边即可得证。
【解析】
证明：如图，延长ED至点M，使DM=DE，连接FM、CM。
∵D是BC中点，
∴BD=DC。
在△BDE和△CDM中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDM, \\ DE=DM, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDM（SAS），
∴BE=CM。
∵DE=DM，DF⊥EM，
∴DF垂直平分EM，
∴FE=FM。
∵在△CFM中，CM+CF＞FM（三角形两边之和大于第三边），
将CM替换为BE，FM替换为EF，
∴BE+CF＞EF。
【答案】
证明:如图,延长ED至点M,使DM=DE,连接FM、CM.
∵D是BC中点,
∴BD=DC. 在△BDE和△CDM中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDM, \\ DE=DM, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDM(SAS),
∴BE=CM.
∵DE=DM, DF⊥EM,
∴FE=FM.
∵CM+CF＞FM,
∴BE+CF＞EF.

【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是典型的利用构造全等转移线段的证明题，核心是借助中点条件使用倍长中线法构造全等，将原本分散的三条线段集中到同一个三角形中，再结合三角形三边关系完成不等式的证明，熟练掌握倍长中线等构造全等的辅助线做法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

8. 规定:有两组边相等,且它们所夹的角互补的两个三角形叫“兄弟三角形”.如图,$OA=OB$,$OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.$
(1)求证:$△ OAC$和$△ OBD$是“兄弟三角形”.
(2)取$BD$的中点$P$,连接$OP$,求证:$AC=2OP$.

8. 证明:(1)
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°. 又
∵AO=OB,OC=OD,
∴△OAC和△OBD是“兄弟三角形”.
(2)如图,延长OP至点E,使PE=OP.
∵P为BD的中点,
∴BP=PD. 在△BPE和△DPO中,
$\begin{cases} PE=PO, \\ ∠BPE=∠DPO, \\ BP=DP, \end{cases}$
∴△BPE≌△DPO(SAS),
∴BE=OD,∠E=∠DOP,
∴BE//OD,
∴∠EBO+∠BOD=180°. 又
∵∠BOD+∠AOC=180°,
∴∠EBO=∠AOC.
∵BE=OD,OD=OC,
∴BE=OC. 在△EBO和△COA中,
$\begin{cases} OB=AO, \\ ∠EBO=∠AOC, \\ BE=OC, \end{cases}$
∴△EBO≌△COA(SAS),
∴OE=AC. 又
∵OE=2OP,
∴AC=2OP.

【分析】
(1)要证明△OAC和△OBD是“兄弟三角形”，需紧扣定义逐一验证条件：首先已知OA=OB、OC=OD，满足两组边相等的要求；接下来只需证明两组边的夹角∠AOC与∠BOD互补，利用周角为360°，减去两个已知的90°角，即可得到两个夹角的和为180°，满足夹角互补的要求，即可得证。
(2)要证明AC=2OP，对于含中点的线段倍分证明问题，通常采用倍长中线法构造全等转化线段：延长OP到E使PE=OP，此时OE=2OP，只需证OE=AC即可。首先利用SAS证△BPE≌△DPO，得到BE=OD=OC，且BE//OD，进而推出∠EBO=∠AOC；再结合已知边相等的条件，用SAS证△EBO≌△COA，得到OE=AC，即可推出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=180°，
又
∵AO=OB，OC=OD，符合“两组边相等，夹角互补”的定义，
∴△OAC和△OBD是“兄弟三角形”。
(2) 证明：
延长OP至点E，使PE=OP。
∵P为BD的中点，
∴BP=PD。
在△BPE和△DPO中：
$\begin{cases} PE=PO \\ ∠BPE=∠DPO \\ BP=DP \end{cases}$
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD，∠E=∠DOP，
∴BE//OD，
∴∠EBO+∠BOD=180°。
又
∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC。
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC。
在△EBO和△COA中：
$\begin{cases} OB=AO \\ ∠EBO=∠AOC \\ BE=OC \end{cases}$
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC。
又
∵OE=2OP，
∴AC=2OP。
【答案】
证明:(1)
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°. 又
∵AO=OB,OC=OD,
∴△OAC和△OBD是“兄弟三角形”.
(2)如图,延长OP至点E,使PE=OP.
∵P为BD的中点,
∴BP=PD. 在△BPE和△DPO中,
$\begin{cases} PE=PO, \\ ∠BPE=∠DPO, \\ BP=DP, \end{cases}$
∴△BPE≌△DPO(SAS),
∴BE=OD,∠E=∠DOP,
∴BE//OD,
∴∠EBO+∠BOD=180°. 又
∵∠BOD+∠AOC=180°,
∴∠EBO=∠AOC.
∵BE=OD,OD=OC,
∴BE=OC. 在△EBO和△COA中,
$\begin{cases} OB=AO, \\ ∠EBO=∠AOC, \\ BE=OC, \end{cases}$
∴△EBO≌△COA(SAS),
∴OE=AC. 又
∵OE=2OP,
∴AC=2OP.

【知识点】
新定义理解，全等三角形判定与性质，倍长中线法
【点评】
本题结合新定义考查几何推理能力，第一问难度较低，紧扣新定义的条件验证即可；第二问的核心是通过倍长中线构造全等三角形，将线段倍分关系转化为全等三角形对应边相等的问题，能有效考查学生的辅助线构造能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6