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1. 化简$\frac{a+1}{a} - \frac{1}{a}$的结果是（
A.1
B.$a$
C.$\frac{1}{a}$
D.$-\frac{1}{a}$
A
）A.1
B.$a$
C.$\frac{1}{a}$
D.$-\frac{1}{a}$
答案
1.A
解析
【分析】
本题是同分母分式的化简题，解题思路如下：首先明确同分母分式的减法运算规则：同分母分式相减时，分母保持不变，只需将分子相减，之后对运算得到的分式进行约分化简，即可得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则计算：
$\frac{a+1}{a} - \frac{1}{a} = \frac{(a+1)-1}{a}$
对分子进行化简：$(a+1)-1 = a+1-1 = a$
因此原式可化为$\frac{a}{a}$，约分后得1。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式减法、分式约分
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查分式的基本运算规则，只要熟练掌握同分母分式的运算法则，计算时细心处理分子的运算，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题是同分母分式的化简题，解题思路如下：首先明确同分母分式的减法运算规则：同分母分式相减时，分母保持不变，只需将分子相减，之后对运算得到的分式进行约分化简，即可得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则计算：
$\frac{a+1}{a} - \frac{1}{a} = \frac{(a+1)-1}{a}$
对分子进行化简：$(a+1)-1 = a+1-1 = a$
因此原式可化为$\frac{a}{a}$，约分后得1。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式减法、分式约分
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查分式的基本运算规则，只要熟练掌握同分母分式的运算法则，计算时细心处理分子的运算，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 计算$\frac{4}{x^2 - 2x} - \frac{x}{x - 2}$的结果是 （
A.$\frac{x+2}{x}$
B.$-\frac{x+2}{x}$
C.$\frac{x-2}{x}$
D.$-\frac{x-2}{x}$
B
）A.$\frac{x+2}{x}$
B.$-\frac{x+2}{x}$
C.$\frac{x-2}{x}$
D.$-\frac{x-2}{x}$
答案
2.B
解析
【分析】
解答异分母分式减法题，需遵循固定步骤：首先对各分母因式分解，确定最简公分母；再将异分母分式通分为同分母分式，按照“分母不变，分子相加减”的法则计算；最后对结果因式分解、约分化为最简分式。本题先分解第一个分母$x^2-2x=x(x-2)$，可得最简公分母为$x(x-2)$，再对第二个分式通分，计算分子时注意减号带来的符号变化，最后约分即可得到结果。
【解析】
第一步：因式分解分母，确定最简公分母
$x^2-2x=x(x-2)$，因此两个分式的最简公分母为$x(x-2)$。
第二步：通分，转化为同分母分式减法
$\frac{4}{x^2 - 2x} - \frac{x}{x - 2}=\frac{4}{x(x-2)} - \frac{x · x}{x(x-2)}$
第三步：计算分子，合并分式
$=\frac{4 - x^2}{x(x-2)}$
第四步：因式分解分子，约分
分子$4-x^2$可变形为平方差的相反数：$4-x^2=-(x^2-4)=-(x+2)(x-2)$，代入得：
$=\frac{-(x+2)(x-2)}{x(x-2)}$
约去公因式$(x-2)$（$x≠2$且$x≠0$），得：
$=-\frac{x+2}{x}$
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查异分母分式减法的运算流程，解题的易错点是处理分子减法时符号出错，通分、约分步骤要严格按照法则计算，可减少失误。
【难度系数】
0.7
解答异分母分式减法题，需遵循固定步骤：首先对各分母因式分解，确定最简公分母；再将异分母分式通分为同分母分式，按照“分母不变，分子相加减”的法则计算；最后对结果因式分解、约分化为最简分式。本题先分解第一个分母$x^2-2x=x(x-2)$，可得最简公分母为$x(x-2)$，再对第二个分式通分，计算分子时注意减号带来的符号变化，最后约分即可得到结果。
【解析】
第一步：因式分解分母，确定最简公分母
$x^2-2x=x(x-2)$，因此两个分式的最简公分母为$x(x-2)$。
第二步：通分，转化为同分母分式减法
$\frac{4}{x^2 - 2x} - \frac{x}{x - 2}=\frac{4}{x(x-2)} - \frac{x · x}{x(x-2)}$
第三步：计算分子，合并分式
$=\frac{4 - x^2}{x(x-2)}$
第四步：因式分解分子，约分
分子$4-x^2$可变形为平方差的相反数：$4-x^2=-(x^2-4)=-(x+2)(x-2)$，代入得：
$=\frac{-(x+2)(x-2)}{x(x-2)}$
约去公因式$(x-2)$（$x≠2$且$x≠0$），得：
$=-\frac{x+2}{x}$
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查异分母分式减法的运算流程，解题的易错点是处理分子减法时符号出错，通分、约分步骤要严格按照法则计算，可减少失误。
【难度系数】
0.7
3.若$x=10$，则$\frac{x^2 -9}{x^2 -4} ÷ \frac{x^2 +3x}{x -2}$的值是（
A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{7}{12}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{7}{120}$
D
）A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{7}{12}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{7}{120}$
答案
3.D
解析
【分析】
对于分式乘除类的求值问题，优先选择先化简再代值的思路，避免直接代入带来的繁杂计算。解题步骤可分为三步：第一步根据分式除法法则，将除法转化为乘法；第二步对每个分式的分子、分母进行因式分解，再约分化为最简分式；第三步将已知x的值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
先根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将原式变形：
原式$=\frac{x^2 -9}{x^2 -4} × \frac{x -2}{x^2 +3x}$
对各部分因式分解：
$x^2-9=(x-3)(x+3)$，$x^2-4=(x-2)(x+2)$，$x^2+3x=x(x+3)$，代入得：
$=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} × \frac{x-2}{x(x+3)}$
约去公因式$(x+3)$和$(x-2)$，化简得：
$=\frac{x-3}{x(x+2)}$
将$x=10$代入上式：
$=\frac{10-3}{10×(10+2)}=\frac{7}{10×12}=\frac{7}{120}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题考查分式化简求值的常规解法，核心是先通过因式分解、约分将原式化为最简形式，再代入数值计算，能大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
对于分式乘除类的求值问题，优先选择先化简再代值的思路，避免直接代入带来的繁杂计算。解题步骤可分为三步：第一步根据分式除法法则，将除法转化为乘法；第二步对每个分式的分子、分母进行因式分解，再约分化为最简分式；第三步将已知x的值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
先根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将原式变形：
原式$=\frac{x^2 -9}{x^2 -4} × \frac{x -2}{x^2 +3x}$
对各部分因式分解：
$x^2-9=(x-3)(x+3)$，$x^2-4=(x-2)(x+2)$，$x^2+3x=x(x+3)$，代入得：
$=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} × \frac{x-2}{x(x+3)}$
约去公因式$(x+3)$和$(x-2)$，化简得：
$=\frac{x-3}{x(x+2)}$
将$x=10$代入上式：
$=\frac{10-3}{10×(10+2)}=\frac{7}{10×12}=\frac{7}{120}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题考查分式化简求值的常规解法，核心是先通过因式分解、约分将原式化为最简形式，再代入数值计算，能大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
4. 琪琪对分式$(a-\frac{b^2}{a})÷\frac{b-a}{a}$化简求值的计算过程如图所示，嘉嘉看了以后说琪琪的计算步骤中有错误，则琪琪开始出错的步骤是（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
4.C
解析
【分析】
要判断琪琪开始出错的步骤，需依次核对每一步的运算依据是否正确：先计算括号内的分式减法验证第一步，再根据分式除法法则验证第二步，接着对分子因式分解验证第三步，即可找到首次出错的步骤。
【解析】
1. 验证步骤①：括号内$a-\frac{b^2}{a}$通分计算，得$\frac{a^2}{a}-\frac{b^2}{a}=\frac{a^2-b^2}{a}$，因此原式转化为$\frac{a^2-b^2}{a}÷\frac{b-a}{a}$，步骤①运算正确；
2. 验证步骤②：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，因此$\frac{a^2-b^2}{a}÷\frac{b-a}{a}=\frac{a^2-b^2}{a}·\frac{a}{b-a}$，步骤②运算正确；
3. 验证步骤③：对$a^2-b^2$因式分解，根据平方差公式可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，但琪琪错误将其分解为$(a-b)^2$，不符合公式要求，因此步骤③是首次出错的步骤。
【答案】
C
【知识点】
分式的运算，平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查分式化简的易错点，解题时要注意通分、因式分解的正确性，需明确区分平方差公式和完全平方公式的形式，避免因公式混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断琪琪开始出错的步骤，需依次核对每一步的运算依据是否正确：先计算括号内的分式减法验证第一步，再根据分式除法法则验证第二步，接着对分子因式分解验证第三步，即可找到首次出错的步骤。
【解析】
1. 验证步骤①：括号内$a-\frac{b^2}{a}$通分计算，得$\frac{a^2}{a}-\frac{b^2}{a}=\frac{a^2-b^2}{a}$，因此原式转化为$\frac{a^2-b^2}{a}÷\frac{b-a}{a}$，步骤①运算正确；
2. 验证步骤②：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，因此$\frac{a^2-b^2}{a}÷\frac{b-a}{a}=\frac{a^2-b^2}{a}·\frac{a}{b-a}$，步骤②运算正确；
3. 验证步骤③：对$a^2-b^2$因式分解，根据平方差公式可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，但琪琪错误将其分解为$(a-b)^2$，不符合公式要求，因此步骤③是首次出错的步骤。
【答案】
C
【知识点】
分式的运算，平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查分式化简的易错点，解题时要注意通分、因式分解的正确性，需明确区分平方差公式和完全平方公式的形式，避免因公式混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 如果$\frac{m+3}{m-5} ÷ \frac{m+9}{m-7}$有意义，那么$m$满足
$m≠5$且$m≠-9$且$m≠7$
。答案
5.$m≠5$且$m≠-9$且$m≠7$
解析
【分析】
要使分式除法运算有意义，需同时满足两个核心要求：一是参与运算的每个分式的分母都不为0（这是分式有意义的基本前提），二是作为除数的分式不能为0（数学规定0不能作除数）。解题时我们只需逐一列出所有限制条件，分别求解后合并所有取值要求，就能得到m的取值范围。
【解析】
要使$\frac{m+3}{m-5} ÷ \frac{m+9}{m-7}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 被除式$\frac{m+3}{m-5}$的分母不为0：
$m-5≠0$，解得$m≠5$；
2. 除式$\frac{m+9}{m-7}$的分母不为0：
$m-7≠0$，解得$m≠7$；
3. 除数不能为0，即除式$\frac{m+9}{m-7}≠0$，由于分母已经保证不为0，因此只需除式的分子不为0：
$m+9≠0$，解得$m≠-9$；
综合以上所有限制条件，可得m的取值要求。
【答案】
$m≠5$且$m≠-9$且$m≠7$
【知识点】
分式有意义的条件；除数不为0；分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式运算有意义的取值范围求解，易错点是容易遗漏除式分母不为0或除式本身不为0的限制条件，解题时需逐一梳理所有约束项，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要使分式除法运算有意义，需同时满足两个核心要求：一是参与运算的每个分式的分母都不为0（这是分式有意义的基本前提），二是作为除数的分式不能为0（数学规定0不能作除数）。解题时我们只需逐一列出所有限制条件，分别求解后合并所有取值要求，就能得到m的取值范围。
【解析】
要使$\frac{m+3}{m-5} ÷ \frac{m+9}{m-7}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 被除式$\frac{m+3}{m-5}$的分母不为0：
$m-5≠0$，解得$m≠5$；
2. 除式$\frac{m+9}{m-7}$的分母不为0：
$m-7≠0$，解得$m≠7$；
3. 除数不能为0，即除式$\frac{m+9}{m-7}≠0$，由于分母已经保证不为0，因此只需除式的分子不为0：
$m+9≠0$，解得$m≠-9$；
综合以上所有限制条件，可得m的取值要求。
【答案】
$m≠5$且$m≠-9$且$m≠7$
【知识点】
分式有意义的条件；除数不为0；分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式运算有意义的取值范围求解，易错点是容易遗漏除式分母不为0或除式本身不为0的限制条件，解题时需逐一梳理所有约束项，避免漏解。
【难度系数】
0.7
