【典型例题 1】
有八个不同因数的自然数,其中最小的一个数是多少?
分析 因为 $8 = 1×8 = 2×4 = (1 + 1)×(3 + 1) = 2×2×2 = (1 + 1)×(1 + 1)×(1 + 1) = 7 + 1$,所以所求的自然数只可能有三种情况:$a^7$,$a×b^3$,$a×b×c$(其中 $a、b、c$ 是不同的质数),而要使自然数最小,显然 $a,b,c$ 应尽量取较小的质数即可。

解：
根据因数个数的计算方法，8可分解为：
①8=1×8，对应数为$a^7$，最小的是$2^7=128$；
②8=2×4，对应数为$a×b^3$（$a、b$为不同质数），最小的是$3×2^3=24$；
③8=2×2×2，对应数为$a×b×c$（$a、b、c$为不同质数），最小的是$2×3×5=30$；
比较得最小的数是24。
答：最小的一个数是24。