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2. 计算$(-\dfrac{1}{3})^3$的结果是（$\quad\quad$）。
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$-\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{1}{27}$
D.$-\dfrac{1}{27}$
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$-\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{1}{27}$
D.$-\dfrac{1}{27}$
答案
D
解析
根据有理数乘方的定义，$(-\dfrac{1}{3})^3$表示3个$-\dfrac{1}{3}$相乘，计算得：
$(-\dfrac{1}{3})^3=(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{3×3×3}=-\dfrac{1}{27}$
$(-\dfrac{1}{3})^3=(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{3×3×3}=-\dfrac{1}{27}$
3. 将有理数$-2^2, (-2)^2, |-2^3|, -\frac{1}{2}$按从小到大的顺序排列，正确的为（）。
A.$-\frac{1}{2} ＜ -2^2 ＜ (-2)^2 ＜ |-2^3|$
B.$-\frac{1}{2} ＜ -2^2 ＜ |-2^3| ＜ (-2)^2$
C.$|-2^3| ＜ -2^2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ (-2)^2$
D.$-2^2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ (-2)^2 ＜ |-2^3|$
A.$-\frac{1}{2} ＜ -2^2 ＜ (-2)^2 ＜ |-2^3|$
B.$-\frac{1}{2} ＜ -2^2 ＜ |-2^3| ＜ (-2)^2$
C.$|-2^3| ＜ -2^2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ (-2)^2$
D.$-2^2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ (-2)^2 ＜ |-2^3|$
答案
D
解析
先分别计算各有理数的具体值：
1. $-2^2 = -4$
2. $(-2)^2 = 4$
3. $|-2^3| = |-8| = 8$
4. 已知$-\frac{1}{2}=-0.5$
根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较时绝对值越大数值越小，可得$-4 ＜ -\frac{1}{2} ＜ 4 ＜ 8$，即$-2^2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ (-2)^2 ＜ |-2^3|$。
1. $-2^2 = -4$
2. $(-2)^2 = 4$
3. $|-2^3| = |-8| = 8$
4. 已知$-\frac{1}{2}=-0.5$
根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较时绝对值越大数值越小，可得$-4 ＜ -\frac{1}{2} ＜ 4 ＜ 8$，即$-2^2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ (-2)^2 ＜ |-2^3|$。
4. 计算：
(1) $18 - 6 ÷ (-2) × (-\dfrac{1}{3})$。
(2) $(-3)^2 × [-\dfrac{2}{3} + (-\dfrac{5}{9})]$。
(1) $18 - 6 ÷ (-2) × (-\dfrac{1}{3})$。
(2) $(-3)^2 × [-\dfrac{2}{3} + (-\dfrac{5}{9})]$。
答案
(1) $\boldsymbol{17}$；(2) $\boldsymbol{-11}$
解析
(1) 根据有理数混合运算规则，先算乘除、后算加减，同级运算从左到右依次计算：
$\begin{aligned}18 - 6 ÷ (-2) × (-\dfrac{1}{3})&=18 - (-3) × (-\dfrac{1}{3})\\&=18 - 1\\&=17\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再利用乘法分配律简化运算：
$\begin{aligned}(-3)^2 × [-\dfrac{2}{3} + (-\dfrac{5}{9})]&=9 × [-\dfrac{2}{3} + (-\dfrac{5}{9})]\\&=9 × (-\dfrac{2}{3}) + 9 × (-\dfrac{5}{9})\\&=-6 -5\\&=-11\end{aligned}$
$\begin{aligned}18 - 6 ÷ (-2) × (-\dfrac{1}{3})&=18 - (-3) × (-\dfrac{1}{3})\\&=18 - 1\\&=17\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再利用乘法分配律简化运算：
$\begin{aligned}(-3)^2 × [-\dfrac{2}{3} + (-\dfrac{5}{9})]&=9 × [-\dfrac{2}{3} + (-\dfrac{5}{9})]\\&=9 × (-\dfrac{2}{3}) + 9 × (-\dfrac{5}{9})\\&=-6 -5\\&=-11\end{aligned}$
5. 你能比较 $2025^{2026}$ 与 $2026^{2025}$ 的大小吗？
解决这个问题，就是要比较 $n^{n+1}$ 与 $(n+1)^n$ 的大小（$n$ 是正整数）。我们可以先分析 $n=1$，$n=2$，$n=3$，$n=4$，…，从中发现规律，再进行归纳、猜想，得到结论，从而比较 $2025^{2026}$ 与 $2026^{2025}$ 的大小。
解决这个问题，就是要比较 $n^{n+1}$ 与 $(n+1)^n$ 的大小（$n$ 是正整数）。我们可以先分析 $n=1$，$n=2$，$n=3$，$n=4$，…，从中发现规律，再进行归纳、猜想，得到结论，从而比较 $2025^{2026}$ 与 $2026^{2025}$ 的大小。
答案
$2025^{2026} ＞ 2026^{2025}$
解析
我们通过代入特殊正整数计算、归纳规律的方法解题：
1. 计算不同正整数n对应两个式子的结果，比较大小：
当n=1时，$1^{2}=1$，$2^{1}=2$，可得$1^{2}＜2^{1}$，即$n^{n+1}＜(n+1)^n$；
当n=2时，$2^{3}=8$，$3^{2}=9$，可得$2^{3}＜3^{2}$，即$n^{n+1}＜(n+1)^n$；
当n=3时，$3^{4}=81$，$4^{3}=64$，可得$3^{4}＞4^{3}$，即$n^{n+1}＞(n+1)^n$；
当n=4时，$4^{5}=1024$，$5^{4}=625$，可得$4^{5}＞5^{4}$，即$n^{n+1}＞(n+1)^n$；
当n=5时，$5^{6}=15625$，$6^{5}=7776$，可得$5^{6}＞6^{5}$，即$n^{n+1}＞(n+1)^n$；
2. 归纳得到通用规律：
当正整数$n ≤ 2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当正整数$n ≥ 3$时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
3. 代入数值应用规律：
2025是大于3的正整数，满足$n≥3$的条件，因此可以直接得到两个数的大小关系。
1. 计算不同正整数n对应两个式子的结果，比较大小：
当n=1时，$1^{2}=1$，$2^{1}=2$，可得$1^{2}＜2^{1}$，即$n^{n+1}＜(n+1)^n$；
当n=2时，$2^{3}=8$，$3^{2}=9$，可得$2^{3}＜3^{2}$，即$n^{n+1}＜(n+1)^n$；
当n=3时，$3^{4}=81$，$4^{3}=64$，可得$3^{4}＞4^{3}$，即$n^{n+1}＞(n+1)^n$；
当n=4时，$4^{5}=1024$，$5^{4}=625$，可得$4^{5}＞5^{4}$，即$n^{n+1}＞(n+1)^n$；
当n=5时，$5^{6}=15625$，$6^{5}=7776$，可得$5^{6}＞6^{5}$，即$n^{n+1}＞(n+1)^n$；
2. 归纳得到通用规律：
当正整数$n ≤ 2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当正整数$n ≥ 3$时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
3. 代入数值应用规律：
2025是大于3的正整数，满足$n≥3$的条件，因此可以直接得到两个数的大小关系。
1. 无理数$\sqrt{10}$的大小在（ ）。
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
答案
B
解析
计算相邻整数的平方，可得3²=9，4²=16，由9＜10＜16，可推出3＜√10＜4，即√10的大小在3和4之间。
2. $-27$ 的立方根是（）。
A.$\pm 3$
B.$3$
C.$-3$
D.$3\sqrt{3}$
A.$\pm 3$
B.$3$
C.$-3$
D.$3\sqrt{3}$
答案
C
解析
根据立方根的定义：若一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。计算可得$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，因此-27的立方根是-3。
3. 下列计算正确的是（）。
A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$-\sqrt{3^2}=-3$
C.$\sqrt{(±3)^2}=±3$
D.$\sqrt{3^2}=±3$
A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$-\sqrt{3^2}=-3$
C.$\sqrt{(±3)^2}=±3$
D.$\sqrt{3^2}=±3$
答案
B
解析
根据算术平方根的定义：非负数的算术平方根是一个非负数，逐个判断选项：
1. 选项A：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠-3$，计算错误；
2. 选项B：$-\sqrt{3^2}=-\sqrt{9}=-3$，计算正确；
3. 选项C：$\sqrt{(±3)^2}=\sqrt{9}=3≠±3$，计算错误；
4. 选项D：$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3≠±3$，计算错误。
综上只有B选项计算正确。
1. 选项A：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠-3$，计算错误；
2. 选项B：$-\sqrt{3^2}=-\sqrt{9}=-3$，计算正确；
3. 选项C：$\sqrt{(±3)^2}=\sqrt{9}=3≠±3$，计算错误；
4. 选项D：$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3≠±3$，计算错误。
综上只有B选项计算正确。
4. $(-4)^2$ 的平方根是（）。
A.16
B.$-4$
C.$\pm4$
D.没有平方根
A.16
B.$-4$
C.$\pm4$
D.没有平方根
答案
C
解析
先计算乘方得$(-4)^2=16$，根据平方根的定义，平方等于16的数是$\pm4$，因此16的平方根是$\pm4$，即$(-4)^2$的平方根是$\pm4$。
5. 一个自然数的算术平方根是$a$，比这个自然数大1的自然数的算术平方根是________。
答案
$\sqrt{a^2 + 1}$
解析
根据算术平方根的定义，若一个自然数的算术平方根是$a$，则这个自然数为$a^2$。比这个自然数大1的自然数是$a^2 + 1$，因此它的算术平方根是$\sqrt{a^2 + 1}$。
6. 已知$ a $，$ b $为两个连续的整数，且$ a ＜ \sqrt{28} ＜ b $，则$ a + b = $。
答案
11
解析
先估算$\sqrt{28}$的取值范围：
因为$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{36}=6$，且$25＜28＜36$，
所以$5＜\sqrt{28}＜6$。
已知$a$、$b$为两个连续的整数，且$a＜\sqrt{28}＜b$，因此$a=5$，$b=6$，
代入计算得$a+b=5+6=11$。
因为$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{36}=6$，且$25＜28＜36$，
所以$5＜\sqrt{28}＜6$。
已知$a$、$b$为两个连续的整数，且$a＜\sqrt{28}＜b$，因此$a=5$，$b=6$，
代入计算得$a+b=5+6=11$。
