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9. 如图,AD,AE分别是$△ ABC$的高和中线,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$∠ CAB=90°$.
求:(1)$AD$的长；
(2)$△ ABE$的面积；
(3)$△ ACE$和$△ ABE$的周长的差.
求:(1)$AD$的长；
(2)$△ ABE$的面积；
(3)$△ ACE$和$△ ABE$的周长的差.
答案
9.解:(1)$\because ∠ BAC=90°$,$AD$是边$BC$上的高,
$\therefore \dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}BC· AD$,
$\therefore AD=\dfrac{AB· AC}{BC}=\dfrac{6×8}{10}=4.8(\mathrm{cm})$,
即$AD$的长为$4.8\ \mathrm{cm}$.
(2)$\because △ ABC$是直角三角形,$∠ BAC=90°$,
$AB=6\ \mathrm{cm}$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$.
又$\because AE$是边$BC$上的中线,$\therefore BE=EC$,
$\therefore \dfrac{1}{2}BE· AD=\dfrac{1}{2}EC· AD$,即$S_{△ ABE}=S_{△ AEC}$,
$\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=12\mathrm{cm}^2$,
$\therefore △ ABE$的面积是$12\ \mathrm{cm}^2$.
(3)$\because AE$为$BC$边上的中线,$\therefore BE=CE$,
$\therefore △ ACE$的周长$-△ ABE$的周长$=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(\mathrm{cm})$,
即$△ ACE$和$△ ABE$的周长的差是$2\ \mathrm{cm}$.
$\therefore \dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}BC· AD$,
$\therefore AD=\dfrac{AB· AC}{BC}=\dfrac{6×8}{10}=4.8(\mathrm{cm})$,
即$AD$的长为$4.8\ \mathrm{cm}$.
(2)$\because △ ABC$是直角三角形,$∠ BAC=90°$,
$AB=6\ \mathrm{cm}$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$.
又$\because AE$是边$BC$上的中线,$\therefore BE=EC$,
$\therefore \dfrac{1}{2}BE· AD=\dfrac{1}{2}EC· AD$,即$S_{△ ABE}=S_{△ AEC}$,
$\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=12\mathrm{cm}^2$,
$\therefore △ ABE$的面积是$12\ \mathrm{cm}^2$.
(3)$\because AE$为$BC$边上的中线,$\therefore BE=CE$,
$\therefore △ ACE$的周长$-△ ABE$的周长$=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(\mathrm{cm})$,
即$△ ACE$和$△ ABE$的周长的差是$2\ \mathrm{cm}$.
10. (2024·盐都区月考) 如图, 在$△ ABC$中,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$CE ⊥ AB$,$AD ⊥ BC$,$AD$和$CE$交于点$F$,$∠ B=67^{ \circ }$.
(1)求$∠ AFC$的度数;
(2)若$AD=4\ \mathrm{cm}$,求$CE$的长.
(1)求$∠ AFC$的度数;
(2)若$AD=4\ \mathrm{cm}$,求$CE$的长.
答案
10.解:(1)$\because CE⊥ AB$,$\therefore ∠ CEB=90°$.
$\because ∠ B=67°$,$\therefore ∠ BCE=23°$.
$\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ FDC=90°$,
$\therefore ∠ AFC=∠ FDC+∠ FCD=90°+23°=113°$.
(2)$\because CE⊥ AB$,$AD⊥ BC$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}AB· CE$.
$\because AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$AD=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CE=\dfrac{AD· BC}{AB}=\dfrac{4×10}{6}=\dfrac{20}{3}(\mathrm{cm})$.
$\because ∠ B=67°$,$\therefore ∠ BCE=23°$.
$\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ FDC=90°$,
$\therefore ∠ AFC=∠ FDC+∠ FCD=90°+23°=113°$.
(2)$\because CE⊥ AB$,$AD⊥ BC$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}AB· CE$.
$\because AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$AD=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CE=\dfrac{AD· BC}{AB}=\dfrac{4×10}{6}=\dfrac{20}{3}(\mathrm{cm})$.
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$.
(1)求$CD$的长;
(2)点$P$从点$A$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$A\to B\to C$运动,当点$P$运动到点$C$时停止运动.当点$P$运动多少秒时,$△ PAC$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$?
(1)求$CD$的长;
(2)点$P$从点$A$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$A\to B\to C$运动,当点$P$运动到点$C$时停止运动.当点$P$运动多少秒时,$△ PAC$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$?
答案
11.解:(1)因为$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· CD=\dfrac{1}{2}AC· BC$,
所以$\dfrac{1}{2}×10× CD=\dfrac{1}{2}×8×6$,解得$CD=4.8$,
即$CD$的长为$4.8\ \mathrm{cm}$.
(2)当点$P$在边$AB$上时,根据题意,得$\dfrac{1}{2}AP· CD=6$,
所以$\dfrac{1}{2}AP×4.8=6$,解得$AP=2.5$,
即点$P$运动的路程为$2.5\ \mathrm{cm}$.
因为点$P$运动的速度是$1\ \mathrm{cm/s}$,
所以点$P$运动的时间为$2.5÷1=2.5(\mathrm{s})$.
当点$P$在边$BC$上时,根据题意,得$\dfrac{1}{2}CP· AC=6$,
所以$\dfrac{1}{2}× CP×8=6$,解得$CP=1.5$,所以点$P$运动的路程为$AB+BC-CP=10+6-1.5=14.5(\mathrm{cm})$.
因为点$P$运动的速度是$1\ \mathrm{cm/s}$,
所以点$P$运动的时间为$14.5÷1=14.5(\mathrm{s})$.
综上可知,点$P$运动$2.5\ \mathrm{s}$或$14.5\ \mathrm{s}$时,$△ PAC$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$.
所以$\dfrac{1}{2}×10× CD=\dfrac{1}{2}×8×6$,解得$CD=4.8$,
即$CD$的长为$4.8\ \mathrm{cm}$.
(2)当点$P$在边$AB$上时,根据题意,得$\dfrac{1}{2}AP· CD=6$,
所以$\dfrac{1}{2}AP×4.8=6$,解得$AP=2.5$,
即点$P$运动的路程为$2.5\ \mathrm{cm}$.
因为点$P$运动的速度是$1\ \mathrm{cm/s}$,
所以点$P$运动的时间为$2.5÷1=2.5(\mathrm{s})$.
当点$P$在边$BC$上时,根据题意,得$\dfrac{1}{2}CP· AC=6$,
所以$\dfrac{1}{2}× CP×8=6$,解得$CP=1.5$,所以点$P$运动的路程为$AB+BC-CP=10+6-1.5=14.5(\mathrm{cm})$.
因为点$P$运动的速度是$1\ \mathrm{cm/s}$,
所以点$P$运动的时间为$14.5÷1=14.5(\mathrm{s})$.
综上可知,点$P$运动$2.5\ \mathrm{s}$或$14.5\ \mathrm{s}$时,$△ PAC$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$.
