一、填空题
1. 已知三角形的两边的长分别为 2 cm 和 5 cm, 设第三边的长为 $x$ cm, 则 $x$ 的取值范围是
.

1. 3＜x＜7

2. 一个三角形三条边长均为整数,其中的两边长分别为7 cm,2 cm,若第三边长为奇数,则该三角形的周长是cm.

2. 16

3. 已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且满足$a+b=3c-2$，$a-b=2c-6$，则$c$的取值范围是。

1＜c＜6

【解析】
解：根据三角形三边关系：
1. 三角形任意两边之和大于第三边，已知$a+b=3c-2$，因此可得不等式：
$3c-2 ＞ c$，
移项化简得$2c＞2$，解得$c＞1$。
2. 三角形任意两边之差小于第三边，已知$a-b=2c-6$，因此可得不等式：
$|a-b| ＜ c$，即$|2c-6| ＜ c$，
去掉绝对值可得$-c ＜ 2c-6 ＜ c$：
解左侧不等式：$-c ＜ 2c-6$，移项得$3c＞6$，即$c＞2$；
解右侧不等式：$2c-6 ＜ c$，移项得$c＜6$。
综合两个条件的解集，最终得到$1 ＜ c ＜ 6$。
【答案】
$1 ＜ c ＜ 6$
【知识点】
三角形三边关系，解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查三角形三边关系的应用，易错点是容易忽略边长为正的隐含条件，或是对两边差小于第三边的性质使用不到位，需要结合已知等式将三边关系转化为关于$c$的不等式组求解。
【难度系数】
0.6

4. 用长度分别为3 cm,5 cm,7 cm,10 cm的四根木棒,任选三根能组成个不同的三角形.

4. 2

5. 定义:一个三角形的一边长是另一边长的 2 倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若$△ ABC$是“倍长三角形”,有两条边的长分别为 2 和 3,则第三条边的长为.

5. 1.5 或 4

二、解答题
6. 已知$△ ABC$是等腰三角形.
(1) 如果它的两条边的长分别为 8 cm 和 3 cm,那么它的周长是多少?
(2) 如果它的周长为 18 cm,一条边的长为 4 cm,那么它的腰长是多少?

6. (1)
∵ 等腰三角形的两条边长分别为 3 cm,8 cm,
∴ 由三角形三边关系可知,等腰三角形的腰长不可能为 3 cm,只能为 8 cm.
∴ 等腰三角形的周长=8+8+3 = 19(cm)
(2) 当长为 4 cm 的边为底时,其他两边长都为$\frac{18-4}{2}=7(\mathrm{cm})$,三边长是 4 cm,7 cm,7 cm,腰长是 7 cm;当长为 4 cm 的边为腰时,其他两边长为 4 cm 和 10 cm,
∵ 4+4＜10,
∴ 不能构成三角形.
∴ 腰长是 7 cm

7. 如图,$O$是$△ ABC$内一点,连接$OB$和$OC$.
(1) 试说明:$OB+OC＜AB+AC$;
(2) 若$AB=7,AC=6,BC=8$,求$OB+OC$的取值范围.

7. (1) 延长 BO 交 AC 于点 D,由三角形三边关系定理,得 OB+OD＜AB+AD,OC＜OD+DC,
∴ OB+OC+OD＜AB+AD+OD+DC.
∴ OB+OC＜AB+AC
(2) 由三角形三边关系定理,得 OB+OC＞BC,由(1)知 OB+OC＜AB+AC,
∴ BC＜OB+OC＜AB+AC.
∵ AB = 7,AC = 6,BC = 8,
∴ 8＜OB+OC＜13