7. 某航空公司规定旅客可免费携带一定质量的行李,当行李的质量超过规定时,需付的行李费$y$(元)是行李质量$x(\mathrm{kg})$的一次函数. 已知行李质量为$30\ \mathrm{kg}$时,需付行李费$4$元;行李质量为$40\ \mathrm{kg}$时,需付行李费$12$元. 旅客最多可免费携带$\mathrm{kg}$行李.

7.25

8. 如图,直线 $y=-\dfrac{1}{2}x+1$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A,B$,把直线 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45°$ 得到的新的直线对应的函数表达式为.

8. $y=-3x+6$ 解析:如图,设直线AB旋转后交y轴于点C,过点B作BM⊥BA,交直线AC于点M,过点M作MQ⊥y轴于点Q.由题意,得∠BAM=45°,
∴ BA = BM.
∴ ∠ABO = 90° - ∠MBQ = ∠BMQ. 在
△ABO 和△BMQ 中,$\begin{cases} ∠AOB=∠BQM, \\ ∠ABO=∠BMQ, \\ AB=BM, \end{cases}$
∴ △ABO ≌
△BMQ(AAS).
∴ AO = BQ, BO = MQ.
∵ 直线$y=-\dfrac{1}{2}x+1$
与x轴、y轴分别交于点A,B,
∴ 令x=0,则y=1;令y=0,则x=2.
∴ A(2,0),B(0,1).
∴ OA=2,OB=1.
∴ BQ=2,MQ=1.
∴ OQ=3,MQ=1.
∴ M(1,3). 设直线AC对应的函数表达式为y = kx + b,
∴ $\begin{cases} k+b=3, \\ 2k+b=0. \end{cases}$
∴ $\begin{cases} k=-3, \\ b=6. \end{cases}$
∴ 直线AC对应的函数表达式为y=-3x+6.

三、解答题(共44分)
9. (20分) 如图,在平面直角坐标系中,直线$AB$:$y=\dfrac{1}{2}x+1$与直线$CD$:$y=mx+n$交于点$A(4,a)$,直线$CD$交$y$轴于点$D(0,9)$.
(1) 求直线$CD$对应的函数表达式;
(2) 直接写出当$\dfrac{1}{2}x+1 ≤ mx+n$时,$x$的取值范围;
(3) 若点$P$在$x$轴上,当$△ ABP$的面积为$6$时,求点$P$的坐标.

9. (1)
∵ 直线AB:$y=\dfrac{1}{2}x+1$与直线CD:$y=mx+n$交于点A(4,a),
∴ $a=\dfrac{1}{2}×4+1=3$.
∴ A(4,3).
把A(4,3),D(0,9)代入y=mx+n,得$\begin{cases} 4m+n=3, \\ n=9, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-\dfrac{3}{2}, \\ n=9, \end{cases}$
∴ 直线CD对应的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x+9$.
(2) $x≤4$
(3) 令$y=\dfrac{1}{2}x+1=0$,解得x=-2,
∴ B(-2,0).
∵ 点P在x轴上,△ABP的面积为6,
∴ $\dfrac{1}{2}PB·y_A=6$,即$\dfrac{1}{2}PB·3=6$.
∴ PB=4.
∴ P(-6,0)或(2,0)

10. (24分)小强用甲、乙两种具有恒温功能的不同热水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度快. 在一段时间内,水温$y(°\mathrm{C})$与加热时间$x(\mathrm{s})$之间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如图所示. 请结合图象信息,解答下列问题:
(1) 加热前水温是$°\mathrm{C}$;
(2) 求乙壶中水温$y(°\mathrm{C})$关于加热时间$x(\mathrm{s})$的函数表达式;
(3) 当甲壶中水温刚达到$80\ °\mathrm{C}$时,乙壶中水温是$°\mathrm{C}$.

10. (1) 20
(2)
∵ 甲壶比乙壶加热速度快,
∴ 乙壶对应的函数图象经过点(0,20),(160,80). 设乙壶中水温$y(℃)$关于加热时间$x(s)$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$. 将(0,20),(160,80)代入,得$\begin{cases} b=20, \\ 160k+b=80, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{3}{8}, \\ b=20. \end{cases}$
∴ 乙壶中水温$y(℃)$关于加热时间$x(s)$的函数表达式为$y=\dfrac{3}{8}x+20$
(3) 65