登录
24. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 $，$ BC = 8 $，$ AE $ 平分 $ \angle BAC $ 交 $ BC $ 于点 $ E $，$ CF $ 平分 $ \angle ACD $ 交 $ AD $ 于点 $ F $.
(1) 试证明四边形 $ AECF $ 为平行四边形；
(2) 求四边形 $ AECF $ 的面积.
(1) 试证明四边形 $ AECF $ 为平行四边形；
(2) 求四边形 $ AECF $ 的面积.
答案
【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$AECF$为平行四边形
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，$AB// CD$，$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，$AB = CD = 6$，$AD = BC = 8$。
由$AB// CD$可得$\angle BAC=\angle DCA$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$CF$平分$\angle ACD$，所以$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle FCA=\frac{1}{2}\angle DCA$，则$\angle EAC=\angle FCA$，所以$AE// CF$（内错角相等，两直线平行）。
又因为$AD// BC$，即$AF// CE$。
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$AECF$是平行四边形。
### $(2)$ 求四边形$AECF$的面积
过点$E$作$EH\perp AC$于点$H$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$\angle B = 90^{\circ}$，$EH\perp AC$，所以$BE = EH$（角平分线的性质）。
设$BE = EH = x$，则$EC = 8 - x$。
由$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AEC}$，可得$\frac{1}{2}AB\times BC=\frac{1}{2}AB\times BE+\frac{1}{2}AC\times EH$，即$\frac{1}{2}\times6\times8=\frac{1}{2}\times6x+\frac{1}{2}\times10x$。
化简得：$24 = 3x + 5x$，$8x = 24$，解得$x = 3$，所以$BE = 3$，$EC = 8 - 3 = 5$。
因为四边形$AECF$是平行四边形，所以$AF = EC = 5$。
则$S_{四边形AECF}=EC\times AB=5\times6 = 30$。
【答案】：
$(1)$ 证明见上述解析；$(2)$$\boldsymbol{30}$
### $(1)$ 证明四边形$AECF$为平行四边形
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，$AB// CD$，$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，$AB = CD = 6$，$AD = BC = 8$。
由$AB// CD$可得$\angle BAC=\angle DCA$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$CF$平分$\angle ACD$，所以$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle FCA=\frac{1}{2}\angle DCA$，则$\angle EAC=\angle FCA$，所以$AE// CF$（内错角相等，两直线平行）。
又因为$AD// BC$，即$AF// CE$。
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$AECF$是平行四边形。
### $(2)$ 求四边形$AECF$的面积
过点$E$作$EH\perp AC$于点$H$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$\angle B = 90^{\circ}$，$EH\perp AC$，所以$BE = EH$（角平分线的性质）。
设$BE = EH = x$，则$EC = 8 - x$。
由$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AEC}$，可得$\frac{1}{2}AB\times BC=\frac{1}{2}AB\times BE+\frac{1}{2}AC\times EH$，即$\frac{1}{2}\times6\times8=\frac{1}{2}\times6x+\frac{1}{2}\times10x$。
化简得：$24 = 3x + 5x$，$8x = 24$，解得$x = 3$，所以$BE = 3$，$EC = 8 - 3 = 5$。
因为四边形$AECF$是平行四边形，所以$AF = EC = 5$。
则$S_{四边形AECF}=EC\times AB=5\times6 = 30$。
【答案】：
$(1)$ 证明见上述解析；$(2)$$\boldsymbol{30}$
25. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，点 $ E $ 是 $ AB $ 的中点，且 $ DE \perp AB $，$ AB = a $. 求：
(1) $ \angle ABC $ 的度数；
(2) 对角线 $ AC $ 的长；
(3) 菱形 $ ABCD $ 的面积.
(1) $ \angle ABC $ 的度数；
(2) 对角线 $ AC $ 的长；
(3) 菱形 $ ABCD $ 的面积.
答案
【解析】：
(1) 连接 $BD$，交 $AC$ 于点 $O$。
因为 $E$ 是 $AB$ 中点且 $DE\perp AB$，所以 $AD = BD$。
又因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $AD = AB$。
则 $AD = AB = BD$，$\triangle ABD$ 是等边三角形，$\angle DAB = 60^{\circ}$。
因为 $AB// CD$，所以 $\angle ABC = 180^{\circ}-\angle DAB = 120^{\circ}$。
(2) 因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $AC\perp BD$，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO = \frac{1}{2}BD$。
由(1)知 $BD = AB = a$，所以 $BO=\frac{a}{2}$。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，根据勾股定理 $AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
所以 $AC = 2AO=\sqrt{3}a$。
(3) 菱形面积 $S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$，已知 $AC = \sqrt{3}a$，$BD = a$，则 $S=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}a\times a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$。
【答案】：
1. $120^{\circ}$
2. $\sqrt{3}a$
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$
(1) 连接 $BD$，交 $AC$ 于点 $O$。
因为 $E$ 是 $AB$ 中点且 $DE\perp AB$，所以 $AD = BD$。
又因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $AD = AB$。
则 $AD = AB = BD$，$\triangle ABD$ 是等边三角形，$\angle DAB = 60^{\circ}$。
因为 $AB// CD$，所以 $\angle ABC = 180^{\circ}-\angle DAB = 120^{\circ}$。
(2) 因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $AC\perp BD$，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO = \frac{1}{2}BD$。
由(1)知 $BD = AB = a$，所以 $BO=\frac{a}{2}$。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，根据勾股定理 $AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
所以 $AC = 2AO=\sqrt{3}a$。
(3) 菱形面积 $S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$，已知 $AC = \sqrt{3}a$，$BD = a$，则 $S=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}a\times a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$。
【答案】：
1. $120^{\circ}$
2. $\sqrt{3}a$
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$
26. 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校到天一阁的路程是 $ 4km $，小聪骑自行车，小明步行. 当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线 $ O - A - B - C $ 和线段 $ OD $ 分别表示两人离学校的路程 $ s(km) $ 与所经过的时间 $ t(min) $ 之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1) 小聪在天一阁查阅资料的时间为______ $ min $，小聪返回学校的速度为______ $ km/min $；
(2) 请你求出小明离开学校的路程 $ s(km) $ 与所经过的时间 $ t(min) $ 之间的函数关系；
(3) 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
(1) 小聪在天一阁查阅资料的时间为______ $ min $，小聪返回学校的速度为______ $ km/min $；
(2) 请你求出小明离开学校的路程 $ s(km) $ 与所经过的时间 $ t(min) $ 之间的函数关系；
(3) 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
答案
【解析】：
### $(1)$ 计算小聪查阅资料时间和返回速度
查阅资料时间：小聪到达天一阁（$A$点）时间是$15min$，离开天一阁（$B$点）时间是$30min$，所以查阅资料时间为$30 - 15=15min$。
返回速度：小聪返回路程$s = 4km$，返回时间$t=45 - 30 = 15min$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得返回速度$v=\frac{4}{15}km/min$。
### $(2)$ 求小明路程$s$与时间$t$的函数关系
设小明的函数关系式为$s = kt$（$k$为斜率），已知小明$45min$走了$4km$，把$(t = 45,s = 4)$代入$s = kt$，得$4=45k$，解得$k=\frac{4}{45}$，所以$s=\frac{4}{45}t(0\leq t\leq45)$。
### $(3)$ 计算相遇时离学校的路程
小聪返回的函数关系：设$BC$段函数关系式为$s=- \frac{4}{15}t + b$，把$B(30,4)$代入得$4=-\frac{4}{15}\times30 + b$，解得$b = 12$，所以$s=-\frac{4}{15}t + 12(30\leq t\leq45)$。
求相遇时间：联立小明和小聪返回的函数$\begin{cases}s=\frac{4}{45}t\\s=-\frac{4}{15}t + 12\end{cases}$，即$\frac{4}{45}t=-\frac{4}{15}t + 12$，$\frac{4}{45}t+\frac{12}{45}t = 12$，$\frac{16}{45}t = 12$，$t=\frac{135}{4}$。
求相遇时离学校路程：把$t=\frac{135}{4}$代入$s=\frac{4}{45}t$，得$s=\frac{4}{45}\times\frac{135}{4}=3km$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{15}$，$\boldsymbol{\frac{4}{15}}$；$(2)$$\boldsymbol{s=\frac{4}{45}t(0\leq t\leq45)}$；$(3)$$\boldsymbol{3}$
### $(1)$ 计算小聪查阅资料时间和返回速度
查阅资料时间：小聪到达天一阁（$A$点）时间是$15min$，离开天一阁（$B$点）时间是$30min$，所以查阅资料时间为$30 - 15=15min$。
返回速度：小聪返回路程$s = 4km$，返回时间$t=45 - 30 = 15min$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得返回速度$v=\frac{4}{15}km/min$。
### $(2)$ 求小明路程$s$与时间$t$的函数关系
设小明的函数关系式为$s = kt$（$k$为斜率），已知小明$45min$走了$4km$，把$(t = 45,s = 4)$代入$s = kt$，得$4=45k$，解得$k=\frac{4}{45}$，所以$s=\frac{4}{45}t(0\leq t\leq45)$。
### $(3)$ 计算相遇时离学校的路程
小聪返回的函数关系：设$BC$段函数关系式为$s=- \frac{4}{15}t + b$，把$B(30,4)$代入得$4=-\frac{4}{15}\times30 + b$，解得$b = 12$，所以$s=-\frac{4}{15}t + 12(30\leq t\leq45)$。
求相遇时间：联立小明和小聪返回的函数$\begin{cases}s=\frac{4}{45}t\\s=-\frac{4}{15}t + 12\end{cases}$，即$\frac{4}{45}t=-\frac{4}{15}t + 12$，$\frac{4}{45}t+\frac{12}{45}t = 12$，$\frac{16}{45}t = 12$，$t=\frac{135}{4}$。
求相遇时离学校路程：把$t=\frac{135}{4}$代入$s=\frac{4}{45}t$，得$s=\frac{4}{45}\times\frac{135}{4}=3km$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{15}$，$\boldsymbol{\frac{4}{15}}$；$(2)$$\boldsymbol{s=\frac{4}{45}t(0\leq t\leq45)}$；$(3)$$\boldsymbol{3}$
