19. 学校在小明家的北偏东 $ 55^{\circ} $ 方向上，则小明家在学校的______方向上.

南偏西$55^{\circ}$

20. 在英文词组“a sunny holiday”中，字母“n”出现的频率是______.

$\frac{2}{13}$

21. 如图，$ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle BAC = 120^{\circ} $，$ AC $ 的垂直平分线 $ EF $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，交 $ BC $ 于点 $ F $. 求证：$ BF = 2CF $.

【解析】：
- 连接$AF$。
因为$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$以及等腰三角形两底角相等，可得$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$。
由于$EF$是$AC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AF = CF$。
那么$\angle C=\angle FAC = 30^{\circ}$，所以$\angle BAF=\angle BAC-\angle FAC=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABF$中，$\angle B = 30^{\circ}$，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，可得$BF = 2AF$。
又因为$AF = CF$，所以$BF = 2CF$。
【答案】：连接$AF$，因为$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$。因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以$AF = CF$，则$\angle FAC=\angle C = 30^{\circ}$，$\angle BAF=\angle BAC-\angle FAC = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABF$中，$\angle B = 30^{\circ}$，所以$BF = 2AF$，又$AF = CF$，故$BF = 2CF$。

22. 已知线段 $ AB $ 的两个端点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (2,3) $，$ (2,-1) $.
(1) 在平面直角坐标系中画出线段 $ AB $；
(2) 把线段 $ AB $ 向左平移 $ 5 $ 个单位，得到线段 $ CD $，请你写出线段 $ CD $ 上任意一点的坐标.

【解析】：1. 对于（1），在平面直角坐标系中，根据点$A(2,3)$和$B(2,-1)$的坐标，先找到横坐标为$2$的直线，然后在该直线上分别找到纵坐标为$3$和$-1$的点，标记为$A$和$B$，最后连接$A$、$B$两点，即可画出线段$AB$。
2. 对于（2），根据平移规律“左减右加，上加下减”，线段$AB$向左平移$5$个单位，那么$A$、$B$两点的横坐标都要减去$5$，纵坐标不变。$A(2,3)$平移后得到$C$点坐标为$(2 - 5,3)$即$(-3,3)$，$B(2,-1)$平移后得到$D$点坐标为$(2 - 5,-1)$即$(-3,-1)$。因为线段$CD$上的点横坐标都为$-3$，纵坐标$y$的取值范围是$-1\leqslant y\leqslant3$，所以线段$CD$上任意一点的坐标可表示为$(-3,y)$（$-1\leqslant y\leqslant3$）。
【答案】：1. 略 2. $(-3,y)$（$-1\leqslant y\leqslant3$）

23. 为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频数直方图，已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是 $ 0.1 $，$ 0.3 $，$ 0.4 $. 第一小组的频数是 $ 5 $.
(1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；
(2) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？

【解析】：
1. 首先明确各小组频率之和为$1$。已知前三个小组的频率分别是$0.1$，$0.3$，$0.4$，那么第四小组的频率为：$1-(0.1 + 0.3+0.4)=1 - 0.8 = 0.2$。
又因为频率$=\frac{频数}{总数}$，已知第一小组的频率$f_1 = 0.1$，频数$n_1 = 5$，设参加这次测试的学生人数为$n$，根据公式$f_1=\frac{n_1}{n}$，可得$n=\frac{n_1}{f_1}=\frac{5}{0.1}=50$人。
2. 然后求中位数所在小组。一共有$n = 50$个数据，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，如果数据有奇数个，则正中间的数字为中位数；如果数据有偶数个，则中间两位数的平均数为中位数。$50$个数据的中位数是第$25$、$26$个数据的平均数。
第一小组的频数$n_1 = 5$；第二小组的频数$n_2=0.3\times50 = 15$；前两个小组的频数之和为$n_1 + n_2=5 + 15 = 20$。
第三小组的频数$n_3=0.4\times50 = 20$，前三个小组的频数之和为$n_1 + n_2 + n_3=5 + 15+20 = 40$。
因为$20\lt25$且$25\lt40$，$20\lt26$且$26\lt40$，所以第$25$、$26$个数据都在第三小组，即中位数落在第三小组内。
【答案】：1. 第四小组的频率是$0.2$，参加这次测试的学生人数是$50$人 2. 第三小组