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5. (2025武昌)用一段长度为24m的篱笆围成一个矩形菜地,能围成菜地的面积不可能是()
$A. 25m^2$
$B. 31m^2$
$C. 36m^2$
$D. 38m^2$
$A. 25m^2$
$B. 31m^2$
$C. 36m^2$
$D. 38m^2$
答案
D 解：设矩形的一边长为$ x $m，面积为$ s $，则相邻的边长为$ (12 - x) $m，
依题意，得$ s = x(12 - x) = - x^{2} + 12x $，$ ∴x^{2} - 12x + s = 0 $，
$ ∴Δ = (- 12)^{2} - 4s ≥ 0 $，
$ ∴s ≤ 36 $. 故选D.
依题意，得$ s = x(12 - x) = - x^{2} + 12x $，$ ∴x^{2} - 12x + s = 0 $，
$ ∴Δ = (- 12)^{2} - 4s ≥ 0 $，
$ ∴s ≤ 36 $. 故选D.
6. (2025南通)如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有与边平行的两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度之比为3:2,且使彩条所占面积是剩余部分面积的三分之一.设横彩条的宽为3x cm,则可列方程化为一般形式是______.
答案
$ 12x^{2} - 130x + 75 = 0 $
7. 如图,老李想用长为70m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为$640m^2$的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到$650m^2$吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为$640m^2$的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到$650m^2$吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
答案
解：(1)设矩形$ ABCD $的边$ AB = x $m，则边$ BC = 70 - 2x + 2 = (72 - 2x) $m.
根据题意，得$ x(72 - 2x) = 640 $，
化简，得$ x^{2} - 36x + 320 = 0 $，
解得$ x_{1} = 16 $，$ x_{2} = 20 $.
当$ x = 16 $时，$ 72 - 2x = 72 - 32 = 40 $；
当$ x = 20 $时，$ 72 - 2x = 72 - 40 = 32 $.
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为$ 640m^{2} $的羊圈；
(2)不能. 理由如下：
由题意，得$ x(72 - 2x) = 650 $，化简，得$ x^{2} - 36x + 325 = 0 $.
$ ∵Δ = (- 36)^{2} - 4×325 = - 4 ＜ 0 $，
$ ∴ $该一元二次方程没有实数根，
$ ∴ $羊圈的面积不能达到$ 650m^{2} $.
根据题意，得$ x(72 - 2x) = 640 $，
化简，得$ x^{2} - 36x + 320 = 0 $，
解得$ x_{1} = 16 $，$ x_{2} = 20 $.
当$ x = 16 $时，$ 72 - 2x = 72 - 32 = 40 $；
当$ x = 20 $时，$ 72 - 2x = 72 - 40 = 32 $.
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为$ 640m^{2} $的羊圈；
(2)不能. 理由如下：
由题意，得$ x(72 - 2x) = 650 $，化简，得$ x^{2} - 36x + 325 = 0 $.
$ ∵Δ = (- 36)^{2} - 4×325 = - 4 ＜ 0 $，
$ ∴ $该一元二次方程没有实数根，
$ ∴ $羊圈的面积不能达到$ 650m^{2} $.
8. (2025宜昌)某学校计划利用一片空地建一个面积为$80m^2$的矩形车棚,其中一边靠墙,这堵墙的长度为12m,另外三边用总长为26m的木板建板墙.
(1)为方便出行,学校决定在与墙平行的一边上开一个2m宽的门,那么这个车棚的长和宽分别应为多少米?
(2)在(1)的条件下,如图,为了方便取车,施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路,使得停车区的面积为$54m^2,$那么小路的宽度是多少米?
(1)为方便出行,学校决定在与墙平行的一边上开一个2m宽的门,那么这个车棚的长和宽分别应为多少米?
(2)在(1)的条件下,如图,为了方便取车,施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路,使得停车区的面积为$54m^2,$那么小路的宽度是多少米?
答案
解：(1)设与墙垂直的一边长$ x $m，则与墙平行的一边长$ (26 - 2x + 2) $m，
依题意，得$ x(26 - 2x + 2) = 80 $，解得$ x_{1} = 4 $，$ x_{2} = 10 $，
$ ∵2 ≤ 28 - 2x ≤ 12 $，得$ 8 ≤ x ≤ 13 $，
$ ∴x = 10 $，
$ ∴ $长为10m，宽为8m；
(2)设小路的宽为$ a $m，
$ (8 - 2a)(10 - a) = 54 $，
解得$ a_{1} = 1 $，$ a_{2} = 13 $（舍去）.
答：小路的宽为1m.
依题意，得$ x(26 - 2x + 2) = 80 $，解得$ x_{1} = 4 $，$ x_{2} = 10 $，
$ ∵2 ≤ 28 - 2x ≤ 12 $，得$ 8 ≤ x ≤ 13 $，
$ ∴x = 10 $，
$ ∴ $长为10m，宽为8m；
(2)设小路的宽为$ a $m，
$ (8 - 2a)(10 - a) = 54 $，
解得$ a_{1} = 1 $，$ a_{2} = 13 $（舍去）.
答：小路的宽为1m.
