若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+(m + 1)x + m^{2}= 0 $ 的两个实数根互为倒数,则 $ m $ 的值为______.

1

1. (2024 山东中考改)若 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-3x - 5 = 0 $ 的两个根,则()
A. $ x_{1}+x_{2}= -3 $
B. $ x_{1}+x_{2}= -5 $
C. $ x_{1}\cdot x_{2}= -5 $
D. $ x_{1}\cdot x_{2}= -3 $

C

2. (2025 黄冈)已知一元二次方程 $ x^{2}+5x - 3 = 0 $ 的两根分别为 $ m,n $,则 $ mn - m - n $ 的值是______.

2

3. (2024 眉山中考改)已知方程 $ x^{2}-x - 4 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1},x_{2} $,则 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $ 的值为______.

$-\frac{1}{4}$

4. (教材 $ P_{17}T_{7} $ 变式)已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}+5x + 1 = 0 $ 的两个实数根,求下列各式的值：
(1) $ x_{1}(1 + x_{2})+x_{2} $； (2) $ (x_{1}-x_{2})^{2} $； (3) $ \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} $.

解：$x_{1}+x_{2}=-5$，$x_{1}x_{2}=1$。
(1) 原式$=x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}$
$=-5+1$
$=-4$；
(2) 原式$=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$
$=(-5)^{2}-4×1$
$=21$；
(3) 原式$=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}$
$=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
$=\frac{(-5)^{2}-2×1}{1}$
$=23$。

5. (2024 武汉元调改)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+bx - 15 = 0 $ 有一个根是 $ x = 3 $,则另一个根是______,$ b $ 的值为______.

$x=-5$ 2

6. (2024 河北中考改)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx - n = 0 $ 的两根为 $ -2 $ 和 $ 3 $,则 $ m = $______,$ n = $______.

1 6

7. (2024 乐山中考改)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 2 $,则 $ m = $______.

2

8. (2024 遂宁中考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0 $.
(1) 求证：无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2) 如果方程的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9 $,求 $ m $ 的值.

解：(1)$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$，
这里$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
$\Delta =b^{2}-4ac$
$=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)$
$=m^{2}+4m+4-4m+4$
$=m^{2}+8$。
$\because m^{2}≥0$，$\therefore \Delta ＞0$。
$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)$\because$方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=m+2$，$x_{1}x_{2}=m-1$。
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，
即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$，
$\therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$。
整理，得$m^{2}+m-2=0$，
$\therefore (m+2)(m-1)=0$，
解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=1$，
$\therefore m$的值为$-2$或$1$。