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14. 若$x=t$是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$的根,$M=(2at+b)^{2}$,则根的判别式$b^{2}-4ac$和$M$的大小关系是(
A.$b^{2}-4ac=M$
B.$b^{2}-4ac＞M$
C.$b^{2}-4ac＜M$
D.无法确定
A
)A.$b^{2}-4ac=M$
B.$b^{2}-4ac＞M$
C.$b^{2}-4ac＜M$
D.无法确定
答案
14. A 解析：将$x = t$代入方程，得$at^{2}+bt + c = 0$，$\therefore b^{2}-4ac - M = b^{2}-4ac-(2at + b)^{2}=b^{2}-4ac - 4a^{2}t^{2}-4abt - b^{2}=-4a(at^{2}+bt + c)=0$，$\therefore b^{2}-4ac = M$。
15. (2024·凉山)已知$y^{2}-x=0$,$x^{2}-3y^{2}+x-3=0$,则$x$的值为
3
.答案
15. 3 解析：$\because y^{2}-x = 0$，$\therefore y^{2}=x\geqslant0$。$\because x^{2}-3y^{2}+x - 3 = 0$，$\therefore x^{2}-3x + x - 3 = 0$，即$x^{2}-2x - 3 = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$（不合题意，舍去）。$\therefore x$的值为3。
16. (2023·泸州)若一个菱形的两条对角线的长分别是关于$x$的方程$x^{2}-10x+m=0$的两个实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为
$\sqrt{14}$
.答案
16. $\sqrt{14}$ 解析：设菱形的两条对角线的长分别为$a$、$b$，则$a + b = 10$。根据菱形的面积公式，得$\frac{1}{2}ab = 11$，即$ab = 22$。$\therefore$菱形的边长为$\sqrt{(\frac{1}{2}a)^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a + b)^{2}-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^{2}-2×22}=\sqrt{14}$。
解析
设菱形的两条对角线的长分别为$a$、$b$。
因为$a$、$b$是方程$x^{2}-10x+m=0$的两个实数根，所以$a + b = 10$。
由菱形面积为$11$，根据菱形面积公式$\frac{1}{2}ab = 11$，可得$ab = 22$。
菱形的边长为$\sqrt{(\frac{1}{2}a)^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a + b)^{2}-2ab}$。
将$a + b = 10$，$ab = 22$代入，得$\frac{1}{2}\sqrt{10^{2}-2×22}=\frac{1}{2}\sqrt{100 - 44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$。
$\sqrt{14}$
因为$a$、$b$是方程$x^{2}-10x+m=0$的两个实数根，所以$a + b = 10$。
由菱形面积为$11$，根据菱形面积公式$\frac{1}{2}ab = 11$，可得$ab = 22$。
菱形的边长为$\sqrt{(\frac{1}{2}a)^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a + b)^{2}-2ab}$。
将$a + b = 10$，$ab = 22$代入，得$\frac{1}{2}\sqrt{10^{2}-2×22}=\frac{1}{2}\sqrt{100 - 44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$。
$\sqrt{14}$
17. (2023·金华)如图所示为一块矩形菜地$ABCD$,$AB=a m$,$AD=b m$,面积为$s m^{2}$,现将边$AB$的长增加$1m$,边$AD$的长增加$2m$.若有且只有一个$a$的值,使得到的新矩形菜地的面积为$2s m^{2}$,则$s$的值为
$6 + 4\sqrt{2}$
.答案
17. $6 + 4\sqrt{2}$ 解析：根据题意，知$b=\frac{s}{a}$。$\because$边$AB$的长增加$1m$，边$AD$的长增加$2m$，得到的新矩形菜地的面积为$2s m^{2}$，$\therefore(a + 1)(b + 2)=2s$，即$(a + 1)(\frac{s}{a}+2)=2s$。整理，得$2a^{2}+(2 - s)a + s = 0$。$\because$有且只有一个$a$的值，使得到的新矩形菜地的面积为$2s m^{2}$，$\therefore$该方程的根的判别式为0，即$(2 - s)^{2}-8s = 0$，解得$s_{1}=6 - 4\sqrt{2}$（不合题意，舍去），$s_{2}=6 + 4\sqrt{2}$，$\therefore s$的值为$6 + 4\sqrt{2}$。
解析
解：由题意得，矩形菜地$ABCD$的面积$s = ab$，则$b=\frac{s}{a}$。
边$AB$增加$1m$后为$(a + 1)m$，边$AD$增加$2m$后为$(b + 2)m$，新矩形面积为$2s m^{2}$，可得$(a + 1)(b + 2)=2s$。
将$b=\frac{s}{a}$代入上式，得$(a + 1)(\frac{s}{a}+ 2)=2s$，整理得$2a^{2}+(2 - s)a + s = 0$。
因为有且只有一个$a$的值满足条件，所以该一元二次方程判别式$\Delta = 0$，即$(2 - s)^{2}-8s = 0$。
解得$s^{2}-12s + 4 = 0$，$s=\frac{12\pm\sqrt{144 - 16}}{2}=\frac{12\pm\sqrt{128}}{2}=\frac{12\pm8\sqrt{2}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$。
因为$s＞0$，$6 - 4\sqrt{2}\approx6 - 5.656 = 0.344$，此时$a$的值可能不符合实际边长，舍去，所以$s = 6 + 4\sqrt{2}$。
$6 + 4\sqrt{2}$
边$AB$增加$1m$后为$(a + 1)m$，边$AD$增加$2m$后为$(b + 2)m$，新矩形面积为$2s m^{2}$，可得$(a + 1)(b + 2)=2s$。
将$b=\frac{s}{a}$代入上式，得$(a + 1)(\frac{s}{a}+ 2)=2s$，整理得$2a^{2}+(2 - s)a + s = 0$。
因为有且只有一个$a$的值满足条件，所以该一元二次方程判别式$\Delta = 0$，即$(2 - s)^{2}-8s = 0$。
解得$s^{2}-12s + 4 = 0$，$s=\frac{12\pm\sqrt{144 - 16}}{2}=\frac{12\pm\sqrt{128}}{2}=\frac{12\pm8\sqrt{2}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$。
因为$s＞0$，$6 - 4\sqrt{2}\approx6 - 5.656 = 0.344$，此时$a$的值可能不符合实际边长，舍去，所以$s = 6 + 4\sqrt{2}$。
$6 + 4\sqrt{2}$
18. 已知$x_{1}$、$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$的两个实数根.
(1)若$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=28$,则$m$的值为
(1)若$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=28$,则$m$的值为
6
.答案
18. (1)6 解析：$\because x_{1}$、$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$的两个实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=2(m + 1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}+5$，$\therefore(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=m^{2}+5-2(m + 1)+1 = 28$，解得$m_{1}=-4$，$m_{2}=6$。又$\because b^{2}-4ac=[-2(m + 1)]^{2}-4(m^{2}+5)=8m - 16\geqslant0$，即$m\geqslant2$，$\therefore m = 6$。
(2)已知等腰三角形$ABC$的一边长为7.若$x_{1}$、$x_{2}$恰好是$\triangle ABC$的另外两边的长,求这个三角形的周长.
答案
(2)①当7为底边长时，方程$x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$有两个相等的实数根，$\therefore b^{2}-4ac = 8m - 16 = 0$，解得$m = 2$，$\therefore$方程变为$x^{2}-6x + 9 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$。$\because 3 + 3＜7$，$\therefore$不能构成三角形，$\therefore m = 2$不符合题意。②当7为腰长时，将$x = 7$代入方程，得$49-14(m + 1)+m^{2}+5 = 0$，解得$m_{1}=10$，$m_{2}=4$。当$m = 10$时，方程变为$x^{2}-22x + 105 = 0$，解得$x_{1}=7$，$x_{2}=15$。$\because 7 + 7＜15$，$\therefore$不能构成三角形，$\therefore m = 10$不符合题意。当$m = 4$时，方程变为$x^{2}-10x + 21 = 0$，解得$x_{1}=7$，$x_{2}=3$，此时三角形的周长为$7 + 7 + 3 = 17$。综上所述，这个三角形的周长为17
19. (新情境·现实生活)某汽车销售公司6月销售某厂家的汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅销售1辆汽车,则该辆汽车的进价为27万元,每多销售1辆,所有销售的汽车每辆的进价均降低0.1万元.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售10辆以上,每辆返利1万元.
(1)若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车,则每辆汽车的进价为
(2)若每辆汽车的售价为28万元,该汽车销售公司计划当月盈利12万元,则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)?
(1)若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车,则每辆汽车的进价为
26.8
万元;(2)若每辆汽车的售价为28万元,该汽车销售公司计划当月盈利12万元,则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)?
答案
19. (1)26.8 (2)设需要销售$x$辆汽车。①当销售10辆以内（含10辆）时，根据题意，得$[28-27 + 0.1(x - 1)]x + 0.5x = 12$，解得$x_{1}=-20$（不合题意，舍去），$x_{2}=6$。$\therefore$当销售6辆汽车时，当月可盈利12万元。②当销售10辆以上时，根据题意，得$[28-27 + 0.1(x - 1)]x + x = 12$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-24$，均不符合题意，舍去。综上所述，若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售6辆汽车
解析
(1)26.8
(2)设需要销售$x$辆汽车。
①当销售10辆以内（含10辆）时，根据题意，得$[28 - 27 + 0.1(x - 1)]x + 0.5x = 12$，
整理得$0.1x^{2} + 1.4x - 12 = 0$，
即$x^{2} + 14x - 120 = 0$，
解得$x_{1} = -20$（不合题意，舍去），$x_{2} = 6$。
②当销售10辆以上时，根据题意，得$[28 - 27 + 0.1(x - 1)]x + x = 12$，
整理得$0.1x^{2} + 1.9x - 12 = 0$，
即$x^{2} + 19x - 120 = 0$，
解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = -24$（均不合题意，舍去）。
综上所述，需要销售6辆汽车。
(2)设需要销售$x$辆汽车。
①当销售10辆以内（含10辆）时，根据题意，得$[28 - 27 + 0.1(x - 1)]x + 0.5x = 12$，
整理得$0.1x^{2} + 1.4x - 12 = 0$，
即$x^{2} + 14x - 120 = 0$，
解得$x_{1} = -20$（不合题意，舍去），$x_{2} = 6$。
②当销售10辆以上时，根据题意，得$[28 - 27 + 0.1(x - 1)]x + x = 12$，
整理得$0.1x^{2} + 1.9x - 12 = 0$，
即$x^{2} + 19x - 120 = 0$，
解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = -24$（均不合题意，舍去）。
综上所述，需要销售6辆汽车。
