8. (2023·达州)已知$x_{1}$、$x_{2}$是方程$2x^{2}+kx-2=0$的两个实数根,且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=10$,则$k$的值为.

8. 7

解：由韦达定理得，$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{k}{2}$，$x_{1}x_{2}=-1$。
$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4$
$=-1 - 2×(-\dfrac{k}{2}) + 4 = 10$
$-1 + k + 4 = 10$
$k + 3 = 10$
$k = 7$
7

9. (2024·泸州)已知$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-5=0$的两个实数根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是.

9. 14 解析：$\because x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x - 5 = 0$的两个实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-5$，$\therefore(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}=3^{2}-(-5)=9 + 5 = 14$。

10. (2024·成都)若$m$、$n$是一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值为.

10. 7 解析：$\because m$、$n$是一元二次方程$x^{2}-5x + 2 = 0$的两个实数根，$\therefore m^{2}-5m + 2 = 0$，$m + n = 5$，$\therefore m^{2}-5m=-2$，$n = 5 - m$，$\therefore m+(n - 2)^{2}=m+(3 - m)^{2}=m^{2}-5m + 9=-2 + 9 = 7$。

解：
∵$m$、$n$是一元二次方程$x^{2}-5x + 2 = 0$的两个实数根，
∴$m + n = 5$，
∴$n = 5 - m$，
∴$m+(n - 2)^{2}=m+(5 - m - 2)^{2}=m+(3 - m)^{2}$
$=m + 9 - 6m + m^{2}=m^{2}-5m + 9$，
∵$m$是方程$x^{2}-5x + 2 = 0$的根，
∴$m^{2}-5m + 2 = 0$，即$m^{2}-5m=-2$，
∴原式$=-2 + 9 = 7$。

11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x+m+4=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$.
(1)求$m$的取值范围;
(2)若$x_{1}$、$x_{2}$满足$3x_{1}=|x_{2}|+2$,求$m$的值.

11. (1)由题意，得$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4(m + 4)=20 - 4m\geqslant0$，解得$m\leqslant5$。$\therefore m$的取值范围是$m\leqslant5$ (2)根据题意，得$x_{1}+x_{2}=6$①，$x_{1}x_{2}=m + 4$②。$\because 3x_{1}=\vert x_{2}\vert+2$，$\therefore$当$x_{2}\geqslant0$时，有$3x_{1}=x_{2}+2$③。联立①③，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。代入②，得$2×4=m + 4$，解得$m = 4$。当$x_{2}＜0$时，有$3x_{1}=-x_{2}+2$④。联立①④，解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=8$（不合题意，舍去）。综上所述，$m$的值为4

(1)由题意，得$\Delta =b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×(m + 4)=36 - 4m - 16=20 - 4m$，因为方程有两个实数根，所以$\Delta\geqslant0$，即$20 - 4m\geqslant0$，解得$m\leqslant5$。
(2)根据韦达定理，得$x_{1}+x_{2}=6$①，$x_{1}x_{2}=m + 4$②。
因为$3x_{1}=\vert x_{2}\vert+2$，所以分两种情况：
当$x_{2}\geqslant0$时，$3x_{1}=x_{2}+2$③。
联立①③，由①得$x_{2}=6 - x_{1}$，代入③得$3x_{1}=6 - x_{1}+2$，$3x_{1}+x_{1}=8$，$4x_{1}=8$，$x_{1}=2$，则$x_{2}=6 - 2=4$。
代入②，得$2×4=m + 4$，$8=m + 4$，解得$m=4$。
当$x_{2}＜0$时，$3x_{1}=-x_{2}+2$④。
联立①④，由①得$x_{2}=6 - x_{1}$，代入④得$3x_{1}=-(6 - x_{1}) + 2$，$3x_{1}=-6 + x_{1}+2$，$3x_{1}-x_{1}=-4$，$2x_{1}=-4$，$x_{1}=-2$，则$x_{2}=6 - (-2)=8$，因为$x_{2}=8$不满足$x_{2}＜0$，所以舍去。
综上所述，$m$的值为$4$。

12. (2024·绵阳)超市销售某种礼盒,该礼盒的原价为500元/盒.因销量持续攀升,超市在3月提价$20\%$,后发现销量锐减,于是经过核算决定在3月售价的基础上,4、5月按照相同的降价率$r$连续降价.已知5月礼盒的售价为486元/盒,则$r$的值为.

12. $10\%$

3月提价后的售价为：$500×(1 + 20\%) = 600$元/盒。
4月降价后的售价为：$600(1 - r)$元/盒。
5月在4月售价基础上再降价后的售价为：$600(1 - r)^2$元/盒。
已知5月售价为486元/盒，可得方程：$600(1 - r)^2 = 486$
$(1 - r)^2 = 486÷600 = 0.81$
$1 - r = \pm0.9$
解得$r_1 = 0.1 = 10\%$，$r_2 = 1.9$（不合题意，舍去）
故$r$的值为$10\%$。

13. (新考法·综合与实践)某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图,甲、乙两点分别从直径的两端点$A$、$B$按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程$l(cm)$与时间$t(s)$满足关系:$l=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t(t\geqslant0)$,乙以$4cm/s$的速度匀速运动,半圆弧的长度为$21cm$.
(1)求甲运动$4s$的路程.
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了多长时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇,它们运动了多长时间?

13. (1)当$t = 4$时，$l=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t=8 + 6 = 14$，$\therefore$甲运动$4s$的路程是$14cm$ (2)由题图，可知甲、乙从开始运动到第一次相遇，运动的路程和为$21cm$，则$\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t+4t=21$，解得$t_{1}=3$，$t_{2}=-14$（不合题意，舍去）。答：甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了$3s$ (3)由题图，可知甲、乙从开始运动到第二次相遇，运动的路程和为三个半圆弧的长，则$\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{2}t+4t=21×3$，解得$t_{1}=7$，$t_{2}=-18$（不合题意，舍去）。答：甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了$7s$