1. (2023·宿迁)若等腰三角形的一个内角为$110^{\circ }$，则该等腰三角形底角的度数为(
A.$70^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$50^{\circ }$
C
)A.$70^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$50^{\circ }$
答案
1.C
解析
当$110^{\circ}$为底角时，两底角和为$110^{\circ}+110^{\circ}=220^{\circ}\gt180^{\circ}$，不符合三角形内角和定理，舍去；
当$110^{\circ}$为顶角时，底角为$\frac{180^{\circ}-110^{\circ}}{2}=35^{\circ}$。
C
当$110^{\circ}$为顶角时，底角为$\frac{180^{\circ}-110^{\circ}}{2}=35^{\circ}$。
C
2. (新情境·现实生活)(2024·绥化改编)某城市几条道路的位置关系如图所示，道路$AB// CD$，道路$AB$与$AE$交于点$A$，其夹角$∠BAE=50^{\circ }$，道路$CD$与$AE$交于点$F$.城市规划部门想新修一条道路$CE$，要求$CF=EF$，则$∠E$的度数为(
A.$23^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$27^{\circ }$
D.$30^{\circ }$
B
)A.$23^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$27^{\circ }$
D.$30^{\circ }$
答案
2.B
解析
解：
∵AB//CD，∠BAE=50°，
∴∠CFE=∠BAE=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵CF=EF，
∴∠E=∠C（等边对等角）。
在△CFE中，∠CFE+∠E+∠C=180°，
∴50°+2∠E=180°，
解得∠E=65°。
1
∵AB//CD，∠BAE=50°，
∴∠CFE=∠BAE=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵CF=EF，
∴∠E=∠C（等边对等角）。
在△CFE中，∠CFE+∠E+∠C=180°，
∴50°+2∠E=180°，
解得∠E=65°。
1
3. (2023·吉林改编)如图，在$\triangle ABC$中，$AC=BC$，$∠A=40^{\circ }$，观察图中尺规作图的痕迹，可知$∠BCG$的度数为(
A.$40^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
C
)A.$40^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
答案
3.C
解析
证明：
∵ $AC = BC$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$\angle A = \angle B = 40°$。
∵ $\angle ACB = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 40° - 40° = 100°$。
由尺规作图痕迹知，$CG$ 平分 $\angle ACB$，
∴ $\angle BCG = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
C
∵ $AC = BC$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$\angle A = \angle B = 40°$。
∵ $\angle ACB = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 40° - 40° = 100°$。
由尺规作图痕迹知，$CG$ 平分 $\angle ACB$，
∴ $\angle BCG = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
C
4. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$AF=EF$.若$∠CFE=72^{\circ }$，则$∠B$的度数为
54°
.答案
4.54°
解析
解：
∵AF=EF，
∴∠A=∠AEF。
∵∠CFE=∠A+∠AEF=72°，
∴∠A=∠AEF=36°。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-36°=54°。
54°
∵AF=EF，
∴∠A=∠AEF。
∵∠CFE=∠A+∠AEF=72°，
∴∠A=∠AEF=36°。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-36°=54°。
54°
5. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠ABC=90^{\circ }$，$ED$是$AC$的垂直平分线，交$AC$于点$D$，交$BC$于点$E$，$∠BAE=10^{\circ }$，则$∠C$的度数为
40°
.答案
5.40°
解析
解：
∵ED是AC的垂直平分线
∴EA=EC
∴∠EAC=∠C
设∠C=x，则∠EAC=x
∵∠ABC=90°，∠BAE=10°
∴∠BAC+∠C=90°
即∠BAE+∠EAC+∠C=90°
∴10°+x+x=90°
解得x=40°
∴∠C=40°
40°
∵ED是AC的垂直平分线
∴EA=EC
∴∠EAC=∠C
设∠C=x，则∠EAC=x
∵∠ABC=90°，∠BAE=10°
∴∠BAC+∠C=90°
即∠BAE+∠EAC+∠C=90°
∴10°+x+x=90°
解得x=40°
∴∠C=40°
40°
6. (2023·聊城)如图，在四边形$ABCD$中，$E$是边$BC$上一点，且$BE=CD$，$∠B=∠AED=∠C$.求证：$∠EAD=∠EDA$.
]
]答案
6.
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE.
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∠B=∠AED，
∴∠BAE=
∠CED.在△ABE和△ECD中，$\begin{cases} \angle BAE=\angle CED,\\ \angle B=\angle C,\\ BE=CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴AE=ED，
∴∠EAD=∠EDA
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE.
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∠B=∠AED，
∴∠BAE=
∠CED.在△ABE和△ECD中，$\begin{cases} \angle BAE=\angle CED,\\ \angle B=\angle C,\\ BE=CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴AE=ED，
∴∠EAD=∠EDA
7. 如图，$\triangle ABC≌\triangle AED$，点$D$在边$BC$上.若$∠EAB=50^{\circ }$，则$∠ADE$的度数为(
A.$50^{\circ }$
B.$55^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$65^{\circ }$
D
)A.$50^{\circ }$
B.$55^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$65^{\circ }$
答案
7.D
解析
证明：
∵△ABC≌△AED，
∴∠EAD=∠BAC，∠ADE=∠C，AD=AC，
∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD=50°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∴∠ADE=∠ADC，
设∠ADE=∠ADC=∠C=x，
则∠DAC=180°-2x，
∵∠BAC=∠BAD+50°，
又∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+180°-2x，
∴∠BAD+50°=∠BAD+180°-2x，
解得x=65°，
即∠ADE=65°．
D
∵△ABC≌△AED，
∴∠EAD=∠BAC，∠ADE=∠C，AD=AC，
∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD=50°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∴∠ADE=∠ADC，
设∠ADE=∠ADC=∠C=x，
则∠DAC=180°-2x，
∵∠BAC=∠BAD+50°，
又∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+180°-2x，
∴∠BAD+50°=∠BAD+180°-2x，
解得x=65°，
即∠ADE=65°．
D
