13. 在平面直角坐标系中,已知点$A(2,2),B(4,0)$.若在坐标轴上取点C,使$\triangle ABC$为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()

A.5
B.6
C.7
D.8

13. A

情况1：以AB为腰，A为顶点
计算$AB=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$
在x轴上：设$C(x,0)$，$AC=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=0$或$x=4$（$x=4$与B重合，舍），得$C_1(0,0)$
在y轴上：设$C(0,y)$，$AC=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(0-2)^2+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$y=0$或$y=4$，得$C_2(0,0)$（与$C_1$重合）、$C_3(0,4)$
情况2：以AB为腰，B为顶点
在x轴上：设$C(x,0)$，$BC=2\sqrt{2}$，$|x-4|=2\sqrt{2}$，解得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，得$C_4(4+2\sqrt{2},0)$、$C_5(4-2\sqrt{2},0)$
在y轴上：设$C(0,y)$，$BC=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(0-4)^2+(y-0)^2}=2\sqrt{2}$，方程无解
情况3：以AB为底边
AB中点$(3,1)$，斜率$k_{AB}=-1$，中垂线方程$y=x-2$
与x轴交于$C_6(2,0)$，与y轴交于$C_7(0,-2)$
综上，满足条件的点C：$(0,0)$、$(0,4)$、$(4+2\sqrt{2},0)$、$(4-2\sqrt{2},0)$、$(2,0)$、$(0,-2)$，共6个
A.5

14. (2023·金华)如图,两个灯笼的位置A,B的坐标分别是$(-3,3),(1,2)$,将点B先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点$B'$,则关于点$A,B'$的位置描述正确的是()

A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于点B对称

14. B

解：点B坐标为$(1,2)$，向右平移2个单位长度，横坐标变为$1+2=3$；再向上平移1个单位长度，纵坐标变为$2+1=3$，则点$B'$的坐标为$(3,3)$。
点A坐标为$(-3,3)$，点$B'$坐标为$(3,3)$，两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以点A与点$B'$关于y轴对称。
答案：B

15. (新考法·阅读理解)在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点$(a,b)$,规定下列三种变换:①$\triangle (a,b)=(-a,b)$;②$◯ (a,b)=(-a,-b)$;③$\Omega (a,b)=(a,-b)$.例如:$\triangle [◯ (1,2)]=(1,-2)$,则$◯ [\Omega (3,4)]=$.

15. $(-3, 4)$ 解析：$\because \Omega(a, b) = (a, -b)$，$\therefore \Omega(3, 4) = (3, -4)$. $\because ◯(a, b) = (-a, -b)$，$\therefore ◯(3, -4) = (-3, 4)$，$\therefore ◯[\Omega(3, 4)] = (-3, 4)$.

16. (新考法·新定义题)(2024·威海改编)在平面直角坐标系中有两点$M(a,b),N(c,d)$,规定$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$,则称$Q(a+c,b+d)$为点M,N的“和点”.若以原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”.现有点$A(2,5)$,$B(-1,3)$,如果以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,那么点C的坐标是.

16. (1, 8)或(-3, -2)或(3, 2)

分三种情况：
1. 当点C为点A和点B的“和点”时，$C=(2+(-1),5+3)=(1,8)$；
2. 当点B为点A和点C的“和点”时，设$C=(x,y)$，则$\left\{\begin{array}{l}2+x=-1\\5+y=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-2\end{array}\right.$，即$C=(-3,-2)$；
3. 当点A为点B和点C的“和点”时，设$C=(x,y)$，则$\left\{\begin{array}{l}-1+x=2\\3+y=5\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array}\right.$，即$C=(3,2)$。
综上，点C的坐标是$(1,8)$或$(-3,-2)$或$(3,2)$。

17. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$各顶点的坐标分别为$A(-2,-2),B(-4,-1),C(-4,-4)$.
(1) 作出$\triangle ABC$关于原点O对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2) 作出点A关于x轴的对称点$A'$,若把点$A'$向右平移a个单位长度后落在$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的内部(不包括顶点和边界),则a的取值范围是.

17.
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求 解析：描出A₁(2, 2)，B₁(4, 1)，C₁(4, 4)三点，再依次连接即可.
(2) 如图，点A'即为所求 $4 ＜ a ＜ 6$

18. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(1,m+1),B(a,m+1),C(3,m+3),D(1,m+a),m＞0,1＜a＜3,P(n-m,n)$是四边形ABCD内的一点,且$\triangle PAD$与$\triangle PBC$的面积相等,求$n-m$的值.

18. 设$n - m = t$. $\because A(1, m + 1)$，B$(a, m + 1)$，$1 ＜ a ＜ 3$，$\therefore AB = a - 1$，AB//x轴. $\because A(1, m + 1)$，D$(1, m + a)$，$\therefore AD = (m + a) - (m + 1) = a - 1$，AD//y轴. 如图，分别过点P，C作PE⊥AB，CF⊥AB，分别交AB，AB的延长线于点E，F. $\because P(n - m, n)$，C$(3, m + 3)$，$\therefore$点P到AD的距离为$n - m - 1 = t - 1$，$PE = n - (m + 1) = t - 1$，$CF = (m + 3) - (m + 1) = 2$，$BE = a - (n - m) = a - t$，$BF = 3 - a$，$EF = 3 - (n - m) = 3 - t$，$\therefore S_{\triangle PAD} = \frac{1}{2}(a - 1)(t - 1)$，$S_{\triangle PBC} = S_{梯形PEFC} - S_{\triangle PBE} - S_{\triangle BFC} = \frac{1}{2}(t - 1 + 2)(3 - t) - \frac{1}{2}(a - t)(t - 1) - \frac{1}{2}(3 - a) × 2$. $\because S_{\triangle PAD} = S_{\triangle PBC}$，$\therefore \frac{1}{2}(a - 1)(t - 1) = \frac{1}{2}(t - 1 + 2)(3 - t) - \frac{1}{2}(a - t)(t - 1) - \frac{1}{2}(3 - a) × 2$. 化简，得$at - 2a - t + 2 = 0$. 整理，得关于t的方程$(a - 1)t - 2(a - 1) = 0$. 又$\because 1 ＜ a ＜ 3$，$\therefore a - 1 \neq 0$，$\therefore$解得$t = 2$，$\therefore n - m = 2$