8. (分类讨论思想)如图,在平面直角坐标系中,$∠C=90^{\circ },OB=25,OC=20$.
(1) 求点C的坐标;
(2) 设P是y轴上的一个动点,当$\triangle OCP$为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.

8.
(1) 如图，过点C作CH⊥OB，垂足为H. $\because$在Rt△OCB中，$\angle OCB = 90^{\circ}$，OB = 25，OC = 20，$\therefore BC^{2} + OC^{2} = OB^{2}$，即$BC^{2} + 20^{2} = 25^{2}$，$\therefore BC = 15$. 根据△OCB的面积公式，得$\frac{1}{2}OB \cdot CH = \frac{1}{2}OC \cdot BC$，$\therefore CH = \frac{OC \cdot BC}{OB} = \frac{20 × 15}{25} = 12$. $\because$在Rt△OHC中，$\angle OHC = 90^{\circ}$，$\therefore OH^{2} + CH^{2} = OC^{2}$，即$OH^{2} + 12^{2} = 20^{2}$，$\therefore OH = 16$，$\therefore$点C的坐标为(16, -12)
(2) 当OC为△OCP的腰时，点P的坐标为(0, 20)或(0, -20)或(0, -24)；当OC为△OCP的底时，点P的坐标为$(0, -\frac{50}{3})$

9. (2024·长沙)在平面直角坐标系中,将点$P(3,5)$向上平移2个单位长度后得到点$P'$的坐标为()

A.$(1,5)$
B.$(5,5)$
C.$(3,3)$
D.$(3,7)$

9. D

在平面直角坐标系中，点向上平移时，横坐标不变，纵坐标增加相应单位长度。
点$P(3,5)$向上平移$2$个单位长度，横坐标仍为$3$，纵坐标为$5 + 2=7$，所以点$P'$的坐标为$(3,7)$。
D

10. 在平面直角坐标系中,点A与点$A_{1}$关于x轴对称,点A与点$A_{2}$关于y轴对称.已知点$A_{1}$的坐标是$(1,2)$,则点$A_{2}$的坐标是()

A.$(-2,1)$
B.$(-2,-1)$
C.$(-1,2)$
D.$(-1,-2)$

10. D

∵点A与点$A_1$关于x轴对称，$A_1(1,2)$，
∴点A的坐标为$(1,-2)$。
∵点A与点$A_2$关于y轴对称，
∴点$A_2$的坐标为$(-1,-2)$。
D

11. 如图,点A的坐标为$(-3,4)$,将线段OA绕点A逆时针旋转$90^{\circ }$至$AA'$,则点$A'$的坐标是.

11. (1, 7) 解析：过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点A'作EF的垂线，垂足为M. 先证△A'MA≌△ANO(AAS)，则A'M = AN，MA = NO. $\because$点A的坐标为(-3, 4)，$\therefore A'M = AN = 4$，MA = NO = 3，$\therefore 4 - 3 = 1$，4 + 3 = 7，$\therefore$点A'的坐标为(1, 7).

解：过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，过点A'作EF的垂线，垂足为M。
∵线段OA绕点A逆时针旋转$90°$至$AA'$，
∴$OA = AA'$，$\angle OAA' = 90°$，
∵EF//y轴，$A'M \perp EF$，
∴$\angle ANO = \angle A'MA = 90°$，$\angle MAN = 90°$，
∴$\angle MA'A + \angle MAA' = 90°$，$\angle OAN + \angle MAA' = 90°$，
∴$\angle MA'A = \angle OAN$，
∴$\triangle A'MA \cong \triangle ANO$（AAS），
∴$A'M = AN$，$MA = NO$，
∵点A的坐标为$(-3, 4)$，
∴$AN = 4$，$NO = 3$，
∴$A'M = 4$，$MA = 3$，
∵点A的横坐标为$-3$，
∴点M的横坐标为$-3$，
∵$A'M = 4$，且$A'$在EF右侧，
∴点A'的横坐标为$-3 + 4 = 1$，
∵点A的纵坐标为4，$MA = 3$，且$A'$在EF上方，
∴点A'的纵坐标为$4 + 3 = 7$，
∴点$A'$的坐标是$(1, 7)$。

12. 如图,$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$是$\triangle ABC$向右平移4个单位长度后得到的,且三个顶点的坐标分别为$A_{1}(1,1),B_{1}(4,2),C_{1}(3,4)$.
(1) 请画出$\triangle ABC$,并写出点A,B,C的坐标;
(2) 求$\triangle AOA_{1}$与$\triangle ABC$的面积;
(3) 求在整个平移过程中,$\triangle ABC$扫过的面积.

12.
(1) 如图，△ABC即为所求 A(-3, 1)，B(0, 2)，C(-1, 4)
(2) 如图，连接AO，A₁O，AA₁. △AOA₁的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2$，△ABC的面积为$3 × 3 - \frac{1}{2} × 2 × 3 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{7}{2}$
(3) 如图，连接CC₁. 由平移的性质，可知$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$，$\therefore$△ABC扫过的面积为$S_{四边形AA_{1}C_{1}C} + S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}} = S_{四边形AA_{1}C_{1}C} + S_{\triangle ABC} = 4 × 3 + \frac{7}{2} = \frac{31}{2}$