1. (2024·眉山)如图,图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正方形的面积为 ()

A.24
B.36
C.40
D.44
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1.D　解析:设题图中的直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c.
∵题图①中大正方形的面积是24，
∴a²+b²=c²=24.
∵题图①中小正方形的面积是4，
∴(a−b)²=a²+b²−2ab=4，
∴ab=10.
∴题图②中大正方形的面积为c²+4×$\frac{1}{2}$ab=24+2×10=44.

2. (2024·大庆改编)如图所示为一棵美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积为.
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2.10

设正方形A、B、C、D的边长分别为$a$、$b$、$c$、$d$，中间两个小正方形的边长分别为$m$、$n$，最大正方形E的边长为$e$。
由正方形面积公式得：$a^2 = 2$，$b^2 = 5$，$c^2 = 1$，$d^2 = 2$。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
对于以$a$、$b$为直角边的直角三角形，其斜边的平方为$a^2 + b^2 = 2 + 5 = 7$，即$m^2 = 7$。
对于以$c$、$d$为直角边的直角三角形，其斜边的平方为$c^2 + d^2 = 1 + 2 = 3$，即$n^2 = 3$。
对于以$m$、$n$为直角边的直角三角形，其斜边的平方为$m^2 + n^2 = 7 + 3 = 10$，即$e^2 = 10$。
所以最大正方形E的面积为$e^2 = 10$。
10

3. (2023·乐山改编)如图所示为“赵爽弦图”,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为.
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3.10

解：设直角三角形的短直角边为$a$，长直角边为$b$。
因为四边形$EFGH$是正方形，$EF = 2$，所以$b - a=2$。
又因为$DE = 8$，且$DE$为直角三角形的长直角边，即$b = 8$。
则$a=b - 2=8 - 2=6$。
在直角三角形中，由勾股定理得$AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
故$AB$的长为$10$。

4. (1) 如图①所示的图形是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的长之和是5,求中间小正方形的面积.
(2) 现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片,如图②,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形(要求:先在图②中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据).
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4.
(1)设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a＞b).由题意，得$\begin{cases}a + b = 5\\a² + b² = 13\end{cases}$，
∴(a + b)²=25=a² + b²+2ab，
∴ab=6，
∴(a−b)²=(a + b)²−4ab=1，
∴中间小正方形的面积为(a−b)²=1　
(2)如图所示(画分割线不唯一)
　　

5. (新考向·传统文化)我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的长方形由两个这样的图形拼成.若a=3,b=4,则该长方形的面积为 ()

A.20
B.24
C.$\frac{99}{4}$
D.$\frac{53}{2}$
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5.B