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【基本图形】
【基本结论】
$ OC \perp AB \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { \textcircled { 1 } A D = B D ; } \\ { \textcircled { 2 } \widehat { A C } = \widehat { B C } , \widehat { A E } = \widehat { B E } ; } \\ { \textcircled { 3 } O A ^ { 2 } = O D ^ { 2 } + A D ^ { 2 } . } \end{array} \right. $
【基本结论】
$ OC \perp AB \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { \textcircled { 1 } A D = B D ; } \\ { \textcircled { 2 } \widehat { A C } = \widehat { B C } , \widehat { A E } = \widehat { B E } ; } \\ { \textcircled { 3 } O A ^ { 2 } = O D ^ { 2 } + A D ^ { 2 } . } \end{array} \right. $
答案
【解析】：本题给出了垂径定理及其相关推论的基本结论。当$OC\perp AB$时，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$AD = BD$；同时，平分弦所对的两条弧，即$\widehat {AC}=\widehat {BC}$，$\widehat {AE}=\widehat {BE}$；在$Rt\triangle OAD$中，根据勾股定理可得$OA^{2}=OD^{2}+AD^{2}$。
【答案】：当$OC\perp AB$时，有$AD = BD$；$\widehat {AC}=\widehat {BC}$，$\widehat {AE}=\widehat {BE}$；$OA^{2}=OD^{2}+AD^{2}$
【答案】：当$OC\perp AB$时，有$AD = BD$；$\widehat {AC}=\widehat {BC}$，$\widehat {AE}=\widehat {BE}$；$OA^{2}=OD^{2}+AD^{2}$
1. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若EB= 9,AE= 1,则弦CD的长为______.
答案
6
2. (教材$P_{89}T_{8}$变式)如图,圆形拱门最下端AB在水平地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB= 1m,CD= 2.5m,则拱门所在圆的半径为______m.
答案
1.3
3. 如图,AB为⊙O的弦,C为$\widehat { A B }$的中点,⊙O的半径为5,AB= 8,求AC的长.
答案
解:连接 OC,交 AB 于点 D,
连接 OA,OB.
∵ C 为 $\widehat {AB}$ 的中点,
∴ 由圆的对称性可得 $OC⊥AB$,
∴ $AD=\frac {1}{2}AB=4$.
∵ $OA=5$,∴ $OD=\sqrt {5^{2}-4^{2}}=3$,
∴ $CD=2$,∴ $AC=\sqrt {4^{2}+2^{2}}=2\sqrt {5}$.
连接 OA,OB.
∵ C 为 $\widehat {AB}$ 的中点,
∴ 由圆的对称性可得 $OC⊥AB$,
∴ $AD=\frac {1}{2}AB=4$.
∵ $OA=5$,∴ $OD=\sqrt {5^{2}-4^{2}}=3$,
∴ $CD=2$,∴ $AC=\sqrt {4^{2}+2^{2}}=2\sqrt {5}$.
4. 如图,AB为⊙O的弦,点C在AB上,D是AB的中点.若⊙O的半径为5,AC= 6,BC= DC,
求OC的长.
求OC的长.
答案
解:连接 OA,OD.
∵ D 是 AB 的中点,
∴ $OD⊥AB$,$AD=BD$,
∵ $AC=6$,$BC=DC$,
∴ $CD=2$,∴ $AD=4$,
∴ $OD=\sqrt {OA^{2}-AD^{2}}=3$,
∴ $OC=\sqrt {OD^{2}+CD^{2}}$
$=\sqrt {3^{2}+2^{2}}$
$=\sqrt {13}$.
∵ D 是 AB 的中点,
∴ $OD⊥AB$,$AD=BD$,
∵ $AC=6$,$BC=DC$,
∴ $CD=2$,∴ $AD=4$,
∴ $OD=\sqrt {OA^{2}-AD^{2}}=3$,
∴ $OC=\sqrt {OD^{2}+CD^{2}}$
$=\sqrt {3^{2}+2^{2}}$
$=\sqrt {13}$.
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC= 8,以CA为半径的⊙C与AB相交于点D,求BD的长.
答案
解:过点 C 作 $CE⊥AD$ 于点 E,
则 $AE=DE=\frac {1}{2}AD$.
∵ $∠ACB=90^{\circ }$,
∴ $AB=\sqrt {6^{2}+8^{2}}=10$.
∵ $S_{△ABC}=\frac {1}{2}AC\cdot BC$
$=\frac {1}{2}AB\cdot CE$,
∴ $CE=\frac {6×8}{10}=\frac {24}{5}$,
∴ $AE=\sqrt {6^{2}-(\frac {24}{5})^{2}}=\frac {18}{5}$,
∴ $AD=2AE=\frac {36}{5}$,
∴ $BD=AB-AD=\frac {14}{5}$.
则 $AE=DE=\frac {1}{2}AD$.
∵ $∠ACB=90^{\circ }$,
∴ $AB=\sqrt {6^{2}+8^{2}}=10$.
∵ $S_{△ABC}=\frac {1}{2}AC\cdot BC$
$=\frac {1}{2}AB\cdot CE$,
∴ $CE=\frac {6×8}{10}=\frac {24}{5}$,
∴ $AE=\sqrt {6^{2}-(\frac {24}{5})^{2}}=\frac {18}{5}$,
∴ $AD=2AE=\frac {36}{5}$,
∴ $BD=AB-AD=\frac {14}{5}$.
