8. 如图,⊙O 是锐角三角形 ABC 的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为 D,E,F,连接 DE,EF,FD. 若 DE + DF = 6.5,△ABC 的周长为 21,则 EF 的长为______.

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9. (2024 凉山州中考)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 A,B,连接 AB,作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 D,交 $ \overset{\frown}{AB} $ 于点 C,测出 AB = 40 cm,CD = 10 cm,则圆形工件的半径为______cm.

25

10. 如图,已知⊙O 的半径为 7,AB 是⊙O 的弦,点 P 在弦 AB 上. 若 PA = 4,PB = 6,则 OP 的长为______.

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11. (教材 $ P_{83}T_2 $ 变式)如图,⊙O 的两条弦 AB,CD 互相垂直于点 E,AB = CD,CE = 1,DE = 3,则⊙O 的半径为______.

$\sqrt{5}$

12. (教材 $ P_{84} $ 例 3 变式)如图,⊙O 经过 A,B,C 三点,AB = AC,连接 AO.
(1) 求证：AO⊥BC；
(2) 若 BC = 48,⊙O 的半径为 25,求 AB 的长.

解：(1)连接$OB$，$OC$。
可证$\triangle AOB\cong\triangle AOC(SSS)$，
$\therefore\angle BAO=\angle CAO$。
$\because AB = AC$，$\therefore AO\perp BC$；
(2)延长$AO$，交$BC$于点$M$。
由(1)知$AM\perp BC$。
$\because OB = 25$，
$BM = CM=\frac{1}{2}BC = 24$，
$\therefore OM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}} = 7$，
$\therefore AM = OA + OM = 32$，
$\therefore AB=\sqrt{AM^{2}+BM^{2}} = 40$。

13. 如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 为⊙O 上的点,且 BC//OD,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.
(1) 求证：BD 平分∠ABC；
(2) 若 BC = 3,DE = 2,求⊙O 的半径长.

解：(1)$\because OD// BC$，
$\therefore\angle ODB=\angle CBD$。
$\because OB = OD$，
$\therefore\angle ODB=\angle OBD$。
$\therefore\angle OBD=\angle CBD$，
$\therefore BD$平分$\angle ABC$；
(2)过点$O$作$OH\perp BC$于点$H$，
则$BH = CH=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$。
$\because DE\perp AB$，$OH\perp BC$，
$\therefore\angle DEO=\angle OHB = 90^{\circ}$。
$\because OD// BC$，
$\therefore\angle DOE=\angle OBH$，
$\because OD = OB$，
$\therefore\triangle ODE\cong\triangle BOH(AAS)$，
$\therefore OH = DE = 2$。
在$Rt\triangle OBH$中，
$OB=\sqrt{BH^{2}+OH^{2}}=\frac{5}{2}$，
即$\odot O$的半径长为$\frac{5}{2}$。