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6. 实践与探索：
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
（1）上述操作能验证的等式是
A. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
① $2023^2 - 2024 × 2022$；
②计算：$(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × ··· × (1 - \frac{1}{99^2}) × (1 - \frac{1}{100^2})$.
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.
（1）上述操作能验证的等式是
A
.（请选择正确的一个）A. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
（2）请应用（1）中的等式完成下列各题：
① $2023^2 - 2024 × 2022$；
②计算：$(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × ··· × (1 - \frac{1}{99^2}) × (1 - \frac{1}{100^2})$.
答案
6. 解：
（1）A
（2）① $2023^2-(2023+1)(2023-1)=2023^2-(2023^2-1)=2023^2-2023^2+1=1$.
② $(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{99^2})×(1-\frac{1}{100^2})$
$=(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{4})(1-\frac{1}{4})×···×(1+\frac{1}{99})(1-\frac{1}{99})(1+\frac{1}{100})(1-\frac{1}{100})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{98}{99}×\frac{100}{99}×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}=\frac{101}{200}$.
（1）A
（2）① $2023^2-(2023+1)(2023-1)=2023^2-(2023^2-1)=2023^2-2023^2+1=1$.
② $(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{99^2})×(1-\frac{1}{100^2})$
$=(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{4})(1-\frac{1}{4})×···×(1+\frac{1}{99})(1-\frac{1}{99})(1+\frac{1}{100})(1-\frac{1}{100})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{98}{99}×\frac{100}{99}×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}=\frac{101}{200}$.
解析
【分析】
（1）先分别计算两个图形阴影部分的面积：图1阴影是大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$；图2拼成的长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两个阴影面积相等，即可验证对应的等式。
（2）①观察式子$2023^2 - 2024×2022$，可将$2024$写成$2023+1$，$2022$写成$2023-1$，将乘积部分转化为平方差的形式，再展开化简即可。
②每个因式$1-\frac{1}{n^2}$都符合平方差的结构特征，先利用平方差公式分解为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，再将所有因式展开，会发现中间的分数可以两两约分，最后计算剩余项的乘积即可。
【解析】
（1）图1阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$
图2拼接后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2 = (a+b)(a-b)$
因为$S_1=S_2$，所以验证的等式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选A。
（2）①
$\begin{aligned}2023^2 - 2024×2022&=2023^2 - (2023+1)(2023-1)\\&=2023^2 - (2023^2 - 1)\\&=2023^2 - 2023^2 +1\\&=1\end{aligned}$
②
$\begin{aligned}&(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × ··· × (1 - \frac{1}{100^2})\\=&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})···(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\=&\frac{1}{2}×\frac{101}{100}\\=&\frac{101}{200}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{A}$
（2）①$\boxed{1}$；②$\boxed{\dfrac{101}{200}}$
【知识点】
平方差公式；整式化简；因式分解的应用
【点评】
本题以图形拼接为背景考查平方差公式的推导和实际应用，体现了数形结合的数学思想。解题时要先观察式子的结构特征，灵活运用平方差公式变形，在连乘运算中注意通过约分简化计算，避免直接计算的繁琐。
【难度系数】
0.7
（1）先分别计算两个图形阴影部分的面积：图1阴影是大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$；图2拼成的长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两个阴影面积相等，即可验证对应的等式。
（2）①观察式子$2023^2 - 2024×2022$，可将$2024$写成$2023+1$，$2022$写成$2023-1$，将乘积部分转化为平方差的形式，再展开化简即可。
②每个因式$1-\frac{1}{n^2}$都符合平方差的结构特征，先利用平方差公式分解为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，再将所有因式展开，会发现中间的分数可以两两约分，最后计算剩余项的乘积即可。
【解析】
（1）图1阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$
图2拼接后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2 = (a+b)(a-b)$
因为$S_1=S_2$，所以验证的等式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选A。
（2）①
$\begin{aligned}2023^2 - 2024×2022&=2023^2 - (2023+1)(2023-1)\\&=2023^2 - (2023^2 - 1)\\&=2023^2 - 2023^2 +1\\&=1\end{aligned}$
②
$\begin{aligned}&(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × ··· × (1 - \frac{1}{100^2})\\=&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})···(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\=&\frac{1}{2}×\frac{101}{100}\\=&\frac{101}{200}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{A}$
（2）①$\boxed{1}$；②$\boxed{\dfrac{101}{200}}$
【知识点】
平方差公式；整式化简；因式分解的应用
【点评】
本题以图形拼接为背景考查平方差公式的推导和实际应用，体现了数形结合的数学思想。解题时要先观察式子的结构特征，灵活运用平方差公式变形，在连乘运算中注意通过约分简化计算，避免直接计算的繁琐。
【难度系数】
0.7
7. (2025·广西) 因式分解：$a^2 -1 = ( \quad )$
A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$
A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆因式分解的常用公式，观察原式的结构：原式是两项，两项符号相反，且都可以写成平方的形式，符合平方差公式的结构特征，因此考虑用平方差公式进行因式分解，再匹配对应选项即可。
【解析】
我们学过平方差因式分解公式：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$
本题中，$a^2 -1 = a^2 - 1^2$，对应公式里的$x=a$，$y=1$，代入公式得：
$a^2 -1 = (a+1)(a-1)$
也可通过整式乘法验证各选项：
选项B：$a(a+1)=a^2+a$，与原式不符；
选项C：$(a+1)^2=a^2+2a+1$，与原式不符；
选项D：$(a-1)^2=a^2-2a+1$，与原式不符。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式“两项异号且均为平方形式”的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆因式分解的常用公式，观察原式的结构：原式是两项，两项符号相反，且都可以写成平方的形式，符合平方差公式的结构特征，因此考虑用平方差公式进行因式分解，再匹配对应选项即可。
【解析】
我们学过平方差因式分解公式：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$
本题中，$a^2 -1 = a^2 - 1^2$，对应公式里的$x=a$，$y=1$，代入公式得：
$a^2 -1 = (a+1)(a-1)$
也可通过整式乘法验证各选项：
选项B：$a(a+1)=a^2+a$，与原式不符；
选项C：$(a+1)^2=a^2+2a+1$，与原式不符；
选项D：$(a-1)^2=a^2-2a+1$，与原式不符。
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式“两项异号且均为平方形式”的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
8. (2025·常州) 分解因式：$x^2 -9y^2=$
(x-3y)(x+3y)
.答案
8. (x-3y)(x+3y)
解析
【分析】
首先观察多项式的结构，发现它是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的特征，因此可以使用平方差公式进行因式分解。解题时先确定公式中对应的a和b：第一个平方项$x^2$对应的a是x，第二个平方项$9y^2$可以写成$(3y)^2$，对应的b是3y，再代入平方差公式即可得到分解结果。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对原式变形得：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x + 3y)(x - 3y)$
【答案】
$(x-3y)(x+3y)$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式在因式分解中的应用，解题的关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确对应公式中的a、b项，分解时要注意不要写错平方项的底数。
【难度系数】
0.9
首先观察多项式的结构，发现它是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的特征，因此可以使用平方差公式进行因式分解。解题时先确定公式中对应的a和b：第一个平方项$x^2$对应的a是x，第二个平方项$9y^2$可以写成$(3y)^2$，对应的b是3y，再代入平方差公式即可得到分解结果。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对原式变形得：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x + 3y)(x - 3y)$
【答案】
$(x-3y)(x+3y)$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式在因式分解中的应用，解题的关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确对应公式中的a、b项，分解时要注意不要写错平方项的底数。
【难度系数】
0.9
