【知识点1】约分和最简分式
◎根据分式的性质，把一个分式的分子与分母的约去，叫作分式的.
◎分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.

公因式 约分

【分析】
这道题考查分式约分的相关基础定义，解题时可结合题干给出的最简分式定义辅助回忆：首先，约分的操作依据是分式的基本性质，操作对象是分子和分母的公共因式，也就是公因式；而把公因式约去的这个操作名称就叫做约分，结合定义就能直接填出两个空。
【解析】
根据分式约分的定义：根据分式的性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
公因式 约分
【知识点】
分式的约分；最简分式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考察分式相关核心定义，熟练掌握课本基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9

1. 约分$\frac{6x^3y^2}{2x^2y}$的结果是（）

A.$3x$
B.$3xy$
C.$3xy^2$
D.$3x^2y$

1. B

【分析】
要对分式进行约分，首先回忆分式约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题步骤为：第一步先确定分子和分母的公因式，公因式由三部分组成：系数取分子、分母系数的最大公约数，相同字母取次数最低的幂；第二步将分子分母同时除以公因式，就能得到约分后的最简结果。
【解析】
第一步：确定公因式
分子$6x^3y^2$和分母$2x^2y$的系数6和2的最大公约数是2；
相同字母x的最低次幂是$x^2$，相同字母y的最低次幂是$y$，因此公因式为$2x^2y$。
第二步：根据分式的基本性质约分
将分子、分母同时除以公因式$2x^2y$，可得：
$\frac{6x^3y^2}{2x^2y}=\frac{6x^3y^2÷ 2x^2y}{2x^2y÷ 2x^2y}=3xy$
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题核心是准确找到分子分母的公因式，熟练掌握约分规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2. 下列分式是最简分式的是（）

A.$\frac{x^2 - y^2}{x - y}$
B.$\frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$
C.$\frac{2x + 4y}{x^2 - 4y^2}$
D.$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{2x - 2y}$

2. B

【分析】
要判断一个分式是不是最简分式，核心依据是最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需要对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再检查二者是否存在公因式，若存在公因式则不是最简分式，若不存在则是最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分子$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，分母为$x-y$，二者存在公因式$x-y$，可约分为$x+y$，因此不是最简分式；
B选项：分子为$x+y$，分母$x^2-xy+y^2$在实数范围内无法分解为含有$x+y$的因式，分子和分母没有公因式，因此是最简分式；
C选项：分子$2x+4y=2(x+2y)$，分母$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，二者存在公因式$x+2y$，可约分为$\frac{2}{x-2y}$，因此不是最简分式；
D选项：分子$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，分母$2x-2y=2(x-y)$，二者存在公因式$x-y$，可约分为$\frac{x-y}{2}$，因此不是最简分式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式判断；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式性质部分的基础题型，重点考察对最简分式概念的理解，解题的关键是熟练掌握因式分解的常用公式（平方差公式、完全平方公式），准确找出分子分母的公因式。
【难度系数】
0.8

3. 约分：$-\dfrac{18xy}{27x^2y^2}=$.

3. $-\dfrac{2}{3xy}$

【分析】
约分的核心是先确定分式分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质，将分子、分母同时除以公因式得到最简分式。思考步骤如下：第一步处理符号，本题分子带负号，分母为正，最终结果保留负号；第二步找系数的最大公约数，18和27的最大公约数是9；第三步找相同字母的最低次幂，分子中x、y的次数均为1，分母中x、y的次数均为2，因此相同字母的最低次幂为xy；综上可得公因式为9xy，最后分子分母同时除以公因式即可完成约分。
【解析】
解：先确定分子分母的公因式为$9xy$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$9xy$：
$-\dfrac{18xy}{27x^2y^2}=-\dfrac{18xy÷ 9xy}{27x^2y^2÷ 9xy}=-\dfrac{2}{3xy}$
【答案】
$-\dfrac{2}{3xy}$
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题的关键是准确找出分子分母的公因式，计算时需注意符号的处理和相同字母最低次幂的选取，熟练掌握约分步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4. 化简：$\dfrac{m^2 - m}{m^2 - 1}=$；$\dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + ab}=$.

4. $\dfrac{m}{m+1}$；$\dfrac{a+b}{a}$

【分析】
本题考查分式的约分，解题思路是先利用因式分解的方法分别对两个分式的分子、分母进行因式分解，再找出分子分母的公因式，最后根据分式的基本性质，将分子分母同时除以不为0的公因式，即可得到化简结果。注意约分的前提是公因式不等于0，即原分式有意义。
【解析】
1. 化简$\dfrac{m^2 - m}{m^2 - 1}$：
第一步，因式分解分子分母：
分子$m^2 - m = m(m-1)$，
分母$m^2 - 1$符合平方差公式，分解为$(m+1)(m-1)$，
由原分式有意义可得$m^2 - 1 ≠ 0$，即$m ≠ \pm 1$，因此$m-1 ≠ 0$，可约去公因式$m-1$：
$\dfrac{m^2 - m}{m^2 - 1} = \dfrac{m(m-1)}{(m+1)(m-1)} = \dfrac{m}{m+1}$。
2. 化简$\dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + ab}$：
第一步，因式分解分子分母：
分子$a^2 + 2ab + b^2$符合完全平方公式，分解为$(a+b)^2$，
分母$a^2 + ab = a(a+b)$，
由原分式有意义可得$a^2 + ab ≠ 0$，即$a ≠ 0$且$a+b ≠ 0$，因此$a+b ≠ 0$，可约去公因式$a+b$：
$\dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + ab} = \dfrac{(a+b)^2}{a(a+b)} = \dfrac{a+b}{a}$。
【答案】
$\dfrac{m}{m+1}$；$\dfrac{a+b}{a}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题关键在于熟练掌握常见的因式分解方法（提公因式法、公式法），约分要注意保证约去的公因式不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8

【知识点2】通分和最简公分母
◎根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
◎分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母.

因式

【分析】
这是一道概念识记类填空题，解题思路如下：首先明确题目考查的是最简公分母的定义内容；回忆通分的相关规则：确定最简公分母时，需先将各分式的分母分解因式，再取所有出现过的因式的最高次幂的乘积作为公分母，由此即可对应得到空缺处的内容。
【解析】
根据最简公分母的定义：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，因此空缺处应填入“因式”。
【答案】
因式
【知识点】
1. 最简公分母的定义
2. 分式的通分
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对教材核心定义的记忆掌握，是后续进行分式通分、加减运算的基础，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1. 分式$\frac{a}{2xy}$与$\frac{b}{3x^2}$的最简公分母是（）

A.$x^2y$
B.$2x^2y$
C.$3x^2y$
D.$6x^2y$

1. D

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需按照最简公分母的确定规则逐步推导：①先找各分母系数的最小公倍数；②再统计分母中所有含有的字母（或因式），相同字母（或因式）取次数最高的；③最后将系数的最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。本题中两个分母分别是2xy和3x²，按上述规则逐步计算即可得到结果。
【解析】
解：先明确两个分式的分母分别为$2xy$和$3x^2$，按步骤计算最简公分母：
1. 计算系数的最小公倍数：2和3的最小公倍数为$2×3=6$；
2. 确定字母的最高次幂：
字母$x$在$2xy$中次数为1，在$3x^2$中次数为2，取最高次幂$x^2$；
字母$y$仅在$2xy$中出现，次数为1，直接取$y$；
3. 合并得到最简公分母：$6× x^2× y=6x^2y$。
故选：D
【答案】D
【知识点】最简公分母的确定、最小公倍数计算
【点评】本题是分式运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，解题关键是牢记找最简公分母的三个要点：系数取各分母系数的最小公倍数、相同因式取最高次幂、独有的因式直接纳入公分母，熟练掌握方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2. 下列三个分式$\frac{1}{2x^2}$，$\frac{5x-1}{4(m-n)}$，$\frac{3}{x}$的最简公分母是（）

A.$4x(m-n)$
B.$2x^2(m-n)$
C.$\frac{1}{4x^2(m-n)}$
D.$4x^2(m-n)$

2. D

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，需遵循以下思路：首先回忆最简公分母的确定规则，分三步处理：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的含字母的整式（或字母）连同它的指数作为公分母的因式；③相同字母（或整式）的幂取次数最高的。接下来先提取三个分式的分母，分别为$2x^2$、$4(m-n)$、$x$，再按上述规则逐一确定各部分因式，最后组合得到最简公分母即可。
【解析】
第一步：写出三个分式的分母：$\frac{1}{2x^2}$的分母为$2x^2$，$\frac{5x-1}{4(m-n)}$的分母为$4(m-n)$，$\frac{3}{x}$的分母为$x$。
第二步：确定系数部分的最小公倍数：分母的系数分别为2、4、1，三者的最小公倍数是4。
第三步：确定字母及整式部分的因式：
含$x$的幂次分别为$x^2$、$x^0$（无$x$）、$x^1$，最高次为$x^2$，因此取$x^2$；
整式$(m-n)$仅在第二个分母中出现，直接将其作为公分母的因式。
第四步：将各部分因式相乘，得到最简公分母为$4 × x^2 × (m-n) = 4x^2(m-n)$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数的计算
【点评】
本题是分式通分、加减运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，只要熟练掌握找最简公分母的三步规则，就能快速准确得出结果，解题时注意不要遗漏单独出现的整式因式、也不要错判相同字母的最高次幂。
【难度系数】
0.8

3. 通分：
(1) $\frac{x}{3y}$与$\frac{3x}{2y^2}$；
(2) $\frac{6c}{a^2b}$与$\frac{c}{ab^2}$；
(3) $\frac{x}{x-y}$，$\frac{y}{x^2+2xy+y^2}$，$\frac{2}{x^2-y^2}$；
(4) $\frac{1}{2x+2}$，$\frac{3}{x^2-1}$，$\frac{x}{x^2+2x+1}$。

3. 解：
（1）最简公分母是$6y^2$，$\therefore \frac{x}{3y}=\frac{x· 2y}{6y^2}=\frac{2xy}{6y^2}$，$\frac{3x}{2y^2}=\frac{3x· 3}{6y^2}=\frac{9x}{6y^2}$.
（2）最简公分母是$a^2b^2$，$\therefore \frac{6c}{a^2b}=\frac{6bc}{a^2b^2}$，$\therefore \frac{c}{ab^2}=\frac{ac}{a^2b^2}$.
（3）最简公分母是$(x+y)^2(x-y)$，$\therefore \frac{x}{x-y}=\frac{x^3+2x^2y+xy^2}{(x+y)^2(x-y)}$，$\frac{y}{(x+y)^2}=\frac{xy-y^2}{(x+y)^2(x-y)}$，$\frac{2}{x^2-y^2}=\frac{2}{(x+y)(x-y)}=\frac{2x+2y}{(x+y)^2(x-y)}$.
（4）最简公分母是$2(x+1)^2(x-1)$，$\therefore \frac{1}{2x+2}=\frac{x^2-1}{2(x+1)^2(x-1)}$，$\frac{3}{x^2-1}=\frac{6x+6}{2(x+1)^2(x-1)}$，$\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{2x^2-2x}{2(x+1)^2(x-1)}$.

【分析】
通分的核心是利用分式的基本性质，将异分母分式转化为同分母分式，解题可分两步进行：1. 确定最简公分母：若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂，所有出现的字母都要纳入公分母；若分母是多项式，先将每个分母因式分解，再取各因式的最高次幂的乘积作为最简公分母。2. 根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘适当的非零整式，使分母变为最简公分母，同时计算出变形后的分子即可。
【解析】
(1) 两个分式分母为$3y$、$2y^2$，系数最小公倍数是6，字母$y$的最高次幂是$y^2$，因此最简公分母为$6y^2$。
根据分式基本性质变形：
$\frac{x}{3y}=\frac{x· 2y}{3y· 2y}=\frac{2xy}{6y^2}$，
$\frac{3x}{2y^2}=\frac{3x· 3}{2y^2· 3}=\frac{9x}{6y^2}$。
(2) 两个分式分母为$a^2b$、$ab^2$，系数最小公倍数是1，字母$a$最高次幂为$a^2$，字母$b$最高次幂为$b^2$，因此最简公分母为$a^2b^2$。
根据分式基本性质变形：
$\frac{6c}{a^2b}=\frac{6c· b}{a^2b· b}=\frac{6bc}{a^2b^2}$，
$\frac{c}{ab^2}=\frac{c· a}{ab^2· a}=\frac{ac}{a^2b^2}$。
(3) 先对多项式分母因式分解：$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，三个分母分别为$(x-y)$、$(x+y)^2$、$(x+y)(x-y)$，取各因式最高次幂的乘积，最简公分母为$(x+y)^2(x-y)$。
根据分式基本性质变形：
$\frac{x}{x-y}=\frac{x· (x+y)^2}{(x-y)· (x+y)^2}=\frac{x^3+2x^2y+xy^2}{(x+y)^2(x-y)}$，
$\frac{y}{(x+y)^2}=\frac{y· (x-y)}{(x+y)^2· (x-y)}=\frac{xy-y^2}{(x+y)^2(x-y)}$，
$\frac{2}{x^2-y^2}=\frac{2· (x+y)}{(x+y)(x-y)· (x+y)}=\frac{2x+2y}{(x+y)^2(x-y)}$。
(4) 先对多项式分母因式分解：$2x+2=2(x+1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，三个分母分别为$2(x+1)$、$(x+1)(x-1)$、$(x+1)^2$，取各因式最高次幂的乘积，最简公分母为$2(x+1)^2(x-1)$。
根据分式基本性质变形：
$\frac{1}{2x+2}=\frac{1· (x+1)(x-1)}{2(x+1)· (x+1)(x-1)}=\frac{x^2-1}{2(x+1)^2(x-1)}$，
$\frac{3}{x^2-1}=\frac{3· 2(x+1)}{(x+1)(x-1)· 2(x+1)}=\frac{6x+6}{2(x+1)^2(x-1)}$，
$\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{x· 2(x-1)}{(x+1)^2· 2(x-1)}=\frac{2x^2-2x}{2(x+1)^2(x-1)}$。
【答案】
(1) $\frac{x}{3y}=\frac{2xy}{6y^2}$，$\frac{3x}{2y^2}=\frac{9x}{6y^2}$；
(2) $\frac{6c}{a^2b}=\frac{6bc}{a^2b^2}$，$\frac{c}{ab^2}=\frac{ac}{a^2b^2}$；
(3) $\frac{x}{x-y}=\frac{x^3+2x^2y+xy^2}{(x+y)^2(x-y)}$，$\frac{y}{x^2+2xy+y^2}=\frac{xy-y^2}{(x+y)^2(x-y)}$，$\frac{2}{x^2-y^2}=\frac{2x+2y}{(x+y)^2(x-y)}$；
(4) $\frac{1}{2x+2}=\frac{x^2-1}{2(x+1)^2(x-1)}$，$\frac{3}{x^2-1}=\frac{6x+6}{2(x+1)^2(x-1)}$，$\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{2x^2-2x}{2(x+1)^2(x-1)}$。
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题是分式通分的典型基础题，覆盖了分母为单项式、多项式两种常见类型，熟练掌握通分方法是后续学习分式加减运算的重要前提，解题时要注意先对多项式分母因式分解，分子乘对应整式时避免漏乘、漏项。
【难度系数】
0.8