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21.如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$CE\perp AB$于点E,$AD= AC$,AF平分$\angle CAB$交CE于点F,DF的延长线交AC于点G.求证：
(1)$DF// BC$；
(2)$FG= FE$.
(1)$DF// BC$；
(2)$FG= FE$.
答案
(1)证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAF，
在△ACF和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}AC=AD\\ \angle CAF=\angle DAF\\ AF=AF\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ADF(SAS)，∴∠ADF=∠ACF，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE=90°，∠B+∠CAE=90°，
∴∠ACF=∠B，∴∠ADF=∠B，∴DF//BC；
(2)证明：∵DF//BC，∠ACB=90°，∴∠AGD=∠ACB=90°，即FG⊥AC，
∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，∴FG=FE.
在△ACF和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}AC=AD\\ \angle CAF=\angle DAF\\ AF=AF\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ADF(SAS)，∴∠ADF=∠ACF，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE=90°，∠B+∠CAE=90°，
∴∠ACF=∠B，∴∠ADF=∠B，∴DF//BC；
(2)证明：∵DF//BC，∠ACB=90°，∴∠AGD=∠ACB=90°，即FG⊥AC，
∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，∴FG=FE.
22.对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对$(a,b)与(c,d)$,我们规定：$(a,b)\otimes (c,d)= a^{2}+d^{2}-bc$.例如$(1,2)\otimes (3,4)= 1^{2}+4^{2}-2× 3= 11$.
(1)若$(2x,kx)\otimes (y,-y)$是一个完全平方式,则常数k的值为______
(2)若$2x+y= 12$,且$(3x+y,2x^{2}+3y^{2})\otimes (3,x-3y)= 84$,求xy的值.
(3)在(2)的条件下,将长方形ABCD及长方形CEFG按照图示放置,其中点E,G分别在边CD,BC上,连接BD,BF,DF,EG.若$AB= 2x,BC= 8x,CE= y,CG= 4y$,求图中阴影部分的面积.
(1)若$(2x,kx)\otimes (y,-y)$是一个完全平方式,则常数k的值为______
±2
.(2)若$2x+y= 12$,且$(3x+y,2x^{2}+3y^{2})\otimes (3,x-3y)= 84$,求xy的值.
解：由题意得，$(3x+y)^2+(x-3y)^2 - 3(2x^2 + 3y^2) = 84$
展开得：$9x^2 + 6xy + y^2 + x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x^2 - 9y^2 = 84$
化简得：$4x^2 + y^2 = 84$
因为$2x + y = 12$，所以$y = 12 - 2x$
代入$4x^2 + y^2 = 84$得：$4x^2 + (12 - 2x)^2 = 84$
展开得：$4x^2 + 144 - 48x + 4x^2 = 84$
化简得：$8x^2 - 48x + 60 = 0$，即$2x^2 - 12x + 15 = 0$
解得$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{2}$
则$y = 12 - 2x = 12 - (6 \pm \sqrt{6}) = 6 \mp \sqrt{6}$
所以$xy = \left(\frac{6 + \sqrt{6}}{2}\right)\left(6 - \sqrt{6}\right) = \frac{36 - 6}{2} = 15$ 或 $xy = \left(\frac{6 - \sqrt{6}}{2}\right)\left(6 + \sqrt{6}\right) = \frac{36 - 6}{2} = 15$
综上，$xy = 15$
展开得：$9x^2 + 6xy + y^2 + x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x^2 - 9y^2 = 84$
化简得：$4x^2 + y^2 = 84$
因为$2x + y = 12$，所以$y = 12 - 2x$
代入$4x^2 + y^2 = 84$得：$4x^2 + (12 - 2x)^2 = 84$
展开得：$4x^2 + 144 - 48x + 4x^2 = 84$
化简得：$8x^2 - 48x + 60 = 0$，即$2x^2 - 12x + 15 = 0$
解得$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{2}$
则$y = 12 - 2x = 12 - (6 \pm \sqrt{6}) = 6 \mp \sqrt{6}$
所以$xy = \left(\frac{6 + \sqrt{6}}{2}\right)\left(6 - \sqrt{6}\right) = \frac{36 - 6}{2} = 15$ 或 $xy = \left(\frac{6 - \sqrt{6}}{2}\right)\left(6 + \sqrt{6}\right) = \frac{36 - 6}{2} = 15$
综上，$xy = 15$
(3)在(2)的条件下,将长方形ABCD及长方形CEFG按照图示放置,其中点E,G分别在边CD,BC上,连接BD,BF,DF,EG.若$AB= 2x,BC= 8x,CE= y,CG= 4y$,求图中阴影部分的面积.
168
答案
【解析】：
（1）本题考查对新定义运算的理解和完全平方公式的运用。
根据新定义运算法则，$(2x,kx)\otimes(y,-y)=4x^{2}+y^{2}-kxy$，
因为$(2x,kx)\otimes(y,-y)$是一个完全平方式，
所以$4x^{2}+y^{2}-kxy=(2x\pm y)^{2}=4x^{2}\pm4xy+y^{2}$，
即$-k=\pm4$，
解得$k=\pm4$。
故答案为$\pm4$。
（2）本题考查对新定义运算的理解和代数式求值。
已知$(3x+y,2x^{2}+3y^{2})\otimes(3,x-3y)=84$，
根据新定义运算法则可得：
$(3x+y)^{2}+(x-3y)^{2}-3(2x^{2}+3y^{2})=84$，
展开式子得：
$9x^{2}+6xy+y^{2}+x^{2}-6xy+9y^{2}-6x^{2}-9y^{2}=84$，
合并同类项得：
$4x^{2}+y^{2}=84$，
又因为$2x+y=12$，
两边同时平方得：
$(2x+y)^{2}=12^{2}$，
即$4x^{2}+4xy+y^{2}=144$，
将$4x^{2}+y^{2}=84$代入上式得：
$84+4xy=144$，
移项得：
$4xy=144-84$，
即$4xy=60$，
两边同时除以$4$得：
$xy=15$。
故答案为$15$。
（3）本题考查对新定义运算的理解和图形面积的计算。
$S_{阴影}=S_{梯形BCEG}+S_{\triangle EGF}-S_{\triangle ABD}-S_{\triangle DGF}$
$=\frac{1}{2}(BC+EG)× CE+\frac{1}{2}EG× CG-\frac{1}{2}AB× BC-\frac{1}{2}DG× CD$
$=\frac{1}{2}(8x+y)× y+\frac{1}{2}y× 4y-\frac{1}{2}× 2x× 8x-\frac{1}{2}(8x-y+y)×(2x+y)$
$=\frac{1}{2}(8xy+y^{2})+2y^{2}-8x^{2}-\frac{1}{2}(8x×(2x+y))$
$=4xy+\frac{1}{2}y^{2}+2y^{2}-8x^{2}-8x^{2}-4xy$
$=\frac{5}{2}y^{2}-16x^{2}$
由（2）可知$4x^{2}+y^{2}=84$，$xy=15$，
则$y^{2}=84-4x^{2}$，
将$y^{2}=84-4x^{2}$代入$\frac{5}{2}y^{2}-16x^{2}$得：
$\frac{5}{2}(84-4x^{2})-16x^{2}$
$=210-10x^{2}-16x^{2}$
$=210-26x^{2}$
又因为$xy=15$，
所以$x=\frac{15}{y}$，
将$x=\frac{15}{y}$代入$4x^{2}+y^{2}=84$得：
$4×(\frac{15}{y})^{2}+y^{2}=84$，
即$\frac{900}{y^{2}}+y^{2}=84$，
两边同时乘以$y^{2}$得：
$900+y^{4}=84y^{2}$，
移项得：
$y^{4}-84y^{2}+900=0$，
因式分解得：
$(y^{2}-6)(y^{2}-150)=0$，
解得$y^{2}=6$或$y^{2}=150$，
当$y^{2}=6$时，$x^{2}=\frac{225}{y^{2}}=\frac{225}{6}= \frac{75}{2}$，
$\frac{5}{2}y^{2}-16x^{2}=\frac{5}{2}×6-16×\frac{75}{2}=15-600=-585$（面积不能为负，舍去），
当$y^{2}=150$时，$x^{2}=\frac{225}{y^{2}}=\frac{225}{150}=\frac{3}{2}$，
$\frac{5}{2}y^{2}-16x^{2}=\frac{5}{2}×150-16×\frac{3}{2}=375-24=351-300 = 66$。
故答案为$66$。
【答案】：
(1)$\pm4$
(2)$15$
(3)$66$
（1）本题考查对新定义运算的理解和完全平方公式的运用。
根据新定义运算法则，$(2x,kx)\otimes(y,-y)=4x^{2}+y^{2}-kxy$，
因为$(2x,kx)\otimes(y,-y)$是一个完全平方式，
所以$4x^{2}+y^{2}-kxy=(2x\pm y)^{2}=4x^{2}\pm4xy+y^{2}$，
即$-k=\pm4$，
解得$k=\pm4$。
故答案为$\pm4$。
（2）本题考查对新定义运算的理解和代数式求值。
已知$(3x+y,2x^{2}+3y^{2})\otimes(3,x-3y)=84$，
根据新定义运算法则可得：
$(3x+y)^{2}+(x-3y)^{2}-3(2x^{2}+3y^{2})=84$，
展开式子得：
$9x^{2}+6xy+y^{2}+x^{2}-6xy+9y^{2}-6x^{2}-9y^{2}=84$，
合并同类项得：
$4x^{2}+y^{2}=84$，
又因为$2x+y=12$，
两边同时平方得：
$(2x+y)^{2}=12^{2}$，
即$4x^{2}+4xy+y^{2}=144$，
将$4x^{2}+y^{2}=84$代入上式得：
$84+4xy=144$，
移项得：
$4xy=144-84$，
即$4xy=60$，
两边同时除以$4$得：
$xy=15$。
故答案为$15$。
（3）本题考查对新定义运算的理解和图形面积的计算。
$S_{阴影}=S_{梯形BCEG}+S_{\triangle EGF}-S_{\triangle ABD}-S_{\triangle DGF}$
$=\frac{1}{2}(BC+EG)× CE+\frac{1}{2}EG× CG-\frac{1}{2}AB× BC-\frac{1}{2}DG× CD$
$=\frac{1}{2}(8x+y)× y+\frac{1}{2}y× 4y-\frac{1}{2}× 2x× 8x-\frac{1}{2}(8x-y+y)×(2x+y)$
$=\frac{1}{2}(8xy+y^{2})+2y^{2}-8x^{2}-\frac{1}{2}(8x×(2x+y))$
$=4xy+\frac{1}{2}y^{2}+2y^{2}-8x^{2}-8x^{2}-4xy$
$=\frac{5}{2}y^{2}-16x^{2}$
由（2）可知$4x^{2}+y^{2}=84$，$xy=15$，
则$y^{2}=84-4x^{2}$，
将$y^{2}=84-4x^{2}$代入$\frac{5}{2}y^{2}-16x^{2}$得：
$\frac{5}{2}(84-4x^{2})-16x^{2}$
$=210-10x^{2}-16x^{2}$
$=210-26x^{2}$
又因为$xy=15$，
所以$x=\frac{15}{y}$，
将$x=\frac{15}{y}$代入$4x^{2}+y^{2}=84$得：
$4×(\frac{15}{y})^{2}+y^{2}=84$，
即$\frac{900}{y^{2}}+y^{2}=84$，
两边同时乘以$y^{2}$得：
$900+y^{4}=84y^{2}$，
移项得：
$y^{4}-84y^{2}+900=0$，
因式分解得：
$(y^{2}-6)(y^{2}-150)=0$，
解得$y^{2}=6$或$y^{2}=150$，
当$y^{2}=6$时，$x^{2}=\frac{225}{y^{2}}=\frac{225}{6}= \frac{75}{2}$，
$\frac{5}{2}y^{2}-16x^{2}=\frac{5}{2}×6-16×\frac{75}{2}=15-600=-585$（面积不能为负，舍去），
当$y^{2}=150$时，$x^{2}=\frac{225}{y^{2}}=\frac{225}{150}=\frac{3}{2}$，
$\frac{5}{2}y^{2}-16x^{2}=\frac{5}{2}×150-16×\frac{3}{2}=375-24=351-300 = 66$。
故答案为$66$。
【答案】：
(1)$\pm4$
(2)$15$
(3)$66$
