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1. 如图所示,一艘轮船位于灯塔P北偏东60°方向、与灯塔的距离为30 n mile的A处.轮船沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P南偏东30°方向的B处,此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为
60
n mile.答案
解：由题意得，∠APB=180°-60°-30°=90°，∠A=60°。
在Rt△APB中，cos∠A=AP/PB。
则PB=AP/cos∠A=30/cos60°=30/(1/2)=60(n mile)。
答案：60
在Rt△APB中，cos∠A=AP/PB。
则PB=AP/cos∠A=30/cos60°=30/(1/2)=60(n mile)。
答案：60
2. 小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向、距她家500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB=
250
m.答案
【解析】：本题可根据已知的方向角和距离，构造直角三角形，再利用三角函数的定义求出水塔所在的位置到公路的距离。
已知水塔在小雅家北偏东$60^{\circ}$方向，距小雅家$500m$，即$OA = 500m$，$\angle AOB = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOB$中，$\angle ABO = 90^{\circ}$，要求$AB$的长度，可根据正弦函数的定义来求解。
正弦函数的定义为：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。
在$Rt\triangle AOB$中，$\sin\angle AOB=\frac{AB}{OA}$，将$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OA = 500m$代入可得：
$AB = OA\cdot\sin\angle AOB=500×\sin30^{\circ}$
因为$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$AB = 500×\frac{1}{2}=250(m)$。
【答案】：$250$
已知水塔在小雅家北偏东$60^{\circ}$方向，距小雅家$500m$，即$OA = 500m$，$\angle AOB = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOB$中，$\angle ABO = 90^{\circ}$，要求$AB$的长度，可根据正弦函数的定义来求解。
正弦函数的定义为：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。
在$Rt\triangle AOB$中，$\sin\angle AOB=\frac{AB}{OA}$，将$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OA = 500m$代入可得：
$AB = OA\cdot\sin\angle AOB=500×\sin30^{\circ}$
因为$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$AB = 500×\frac{1}{2}=250(m)$。
【答案】：$250$
3. 某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速,他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100 m的点A处,如图所示.直线l表示公路,一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶,用时5 s.经测量,点B在点A北偏东45°方向上,点C在点A北偏东60°方向上,这段公路最高限速60 km/h,此车______(填“超速”或“没有超速”).(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$)
没有超速
答案
1. 首先，过点$A$作$AD\perp l$于点$D$：
已知$AD = 100m$，$\angle BAD=45^{\circ}$，$\angle CAD = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，因为$\angle BAD = 45^{\circ}$，$\tan\angle BAD=\frac{BD}{AD}$，且$\tan45^{\circ}=1$，$AD = 100m$，所以$BD = AD\tan45^{\circ}=100×1 = 100m$。
在$Rt\triangle ACD$中，因为$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AD}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，$AD = 100m$，所以$CD = AD\tan60^{\circ}=100\sqrt{3}m$。
2. 然后，计算$BC$的长度：
根据$BC=CD - BD$，可得$BC = 100\sqrt{3}-100=100(\sqrt{3}-1)$。
把$\sqrt{3}\approx1.732$代入，$BC\approx100×(1.732 - 1)=73.2m$。
3. 接着，计算小汽车的速度$v$：
已知小汽车行驶$BC$用时$t = 5s$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$（这里$s = BC$，$t = 5s$），则$v=\frac{73.2}{5}=14.64m/s$。
因为$1m/s = 3.6km/h$，所以$v=14.64×3.6km/h$。
$14.64×3.6=(15 - 0.36)×3.6=15×3.6-0.36×3.6=54 - 1.296 = 52.704km/h$。
因为$52.704\lt60$，所以此车没有超速。
故答案为：没有超速。
已知$AD = 100m$，$\angle BAD=45^{\circ}$，$\angle CAD = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，因为$\angle BAD = 45^{\circ}$，$\tan\angle BAD=\frac{BD}{AD}$，且$\tan45^{\circ}=1$，$AD = 100m$，所以$BD = AD\tan45^{\circ}=100×1 = 100m$。
在$Rt\triangle ACD$中，因为$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AD}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，$AD = 100m$，所以$CD = AD\tan60^{\circ}=100\sqrt{3}m$。
2. 然后，计算$BC$的长度：
根据$BC=CD - BD$，可得$BC = 100\sqrt{3}-100=100(\sqrt{3}-1)$。
把$\sqrt{3}\approx1.732$代入，$BC\approx100×(1.732 - 1)=73.2m$。
3. 接着，计算小汽车的速度$v$：
已知小汽车行驶$BC$用时$t = 5s$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$（这里$s = BC$，$t = 5s$），则$v=\frac{73.2}{5}=14.64m/s$。
因为$1m/s = 3.6km/h$，所以$v=14.64×3.6km/h$。
$14.64×3.6=(15 - 0.36)×3.6=15×3.6-0.36×3.6=54 - 1.296 = 52.704km/h$。
因为$52.704\lt60$，所以此车没有超速。
故答案为：没有超速。
4. 在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图所示.河岸EF//MN,小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向,然后沿岸走了30 m,到达B处,测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向.此时,其他同学测得CD= 10 m.请根据这些数据求河的宽度(结果保留根号).
答案
1. 过点$C$作$CE\perp MN$于点$E$，过点$D$作$DF\perp MN$于点$F$：
因为$EF// MN$，$CE\perp MN$，$DF\perp MN$，所以四边形$CEFD$是矩形，则$CE = DF$，$EF = CD = 10m$。
设$CE = DF=xm$。
2. 在$Rt\triangle ACE$中：
因为$\angle CAE = 45^{\circ}$，$\tan\angle CAE=\frac{CE}{AE}$，$\tan45^{\circ}=1$，所以$AE = CE=xm$。
3. 在$Rt\triangle BDF$中：
因为$\angle DBF = 60^{\circ}$（北偏东$30^{\circ}$，则$\angle DBF = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$），$\tan\angle DBF=\frac{DF}{BF}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$BF=\frac{DF}{\tan60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}m$。
4. 又因为$AB = 30m$，$AB=AE - BF+EF$：
把$AE = x$，$BF=\frac{x}{\sqrt{3}}$，$EF = 10$代入$AB=AE - BF+EF$，可得$30=x-\frac{x}{\sqrt{3}} + 10$。
移项得$x-\frac{x}{\sqrt{3}}=30 - 10$。
合并同类项：$x(1 - \frac{1}{\sqrt{3}})=20$，即$x(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}})=20$。
解得$x=\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$。
分母有理化：$x=\frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=\sqrt{3}$，$b = 1$，则$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=3 - 1 = 2$。
所以$x = 10(\sqrt{3}+1)=(10\sqrt{3}+10)m$。
答：河的宽度为$(10\sqrt{3}+10)m$。
因为$EF// MN$，$CE\perp MN$，$DF\perp MN$，所以四边形$CEFD$是矩形，则$CE = DF$，$EF = CD = 10m$。
设$CE = DF=xm$。
2. 在$Rt\triangle ACE$中：
因为$\angle CAE = 45^{\circ}$，$\tan\angle CAE=\frac{CE}{AE}$，$\tan45^{\circ}=1$，所以$AE = CE=xm$。
3. 在$Rt\triangle BDF$中：
因为$\angle DBF = 60^{\circ}$（北偏东$30^{\circ}$，则$\angle DBF = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$），$\tan\angle DBF=\frac{DF}{BF}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$BF=\frac{DF}{\tan60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}m$。
4. 又因为$AB = 30m$，$AB=AE - BF+EF$：
把$AE = x$，$BF=\frac{x}{\sqrt{3}}$，$EF = 10$代入$AB=AE - BF+EF$，可得$30=x-\frac{x}{\sqrt{3}} + 10$。
移项得$x-\frac{x}{\sqrt{3}}=30 - 10$。
合并同类项：$x(1 - \frac{1}{\sqrt{3}})=20$，即$x(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}})=20$。
解得$x=\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$。
分母有理化：$x=\frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=\sqrt{3}$，$b = 1$，则$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=3 - 1 = 2$。
所以$x = 10(\sqrt{3}+1)=(10\sqrt{3}+10)m$。
答：河的宽度为$(10\sqrt{3}+10)m$。
