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角的平分线的判定
(1)定义法.
(2)角的内部到角两边的点在角的平分线上.
(1)定义法.
(2)角的内部到角两边的点在角的平分线上.
答案
距离相等
解析
根据角的平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
【例题】如图，点B，C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE相交于点F，且BF = CF.
求证：点F在∠MAN的平分线上.
求证：点F在∠MAN的平分线上.
答案
证明：
∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠FDC=∠FEB=90°。
在△FDC和△FEB中，
∠FDC=∠FEB，
∠DFC=∠EFB（对顶角相等），
CF=BF，
∴△FDC≌△FEB（AAS）。
∴DF=EF。
∵DF⊥AM，EF⊥AN，
∴点F在∠MAN的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠FDC=∠FEB=90°。
在△FDC和△FEB中，
∠FDC=∠FEB，
∠DFC=∠EFB（对顶角相等），
CF=BF，
∴△FDC≌△FEB（AAS）。
∴DF=EF。
∵DF⊥AM，EF⊥AN，
∴点F在∠MAN的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【变式】如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC = 60°，则∠BOC等于().
A.120°
B.125°
C.130°
D.140°
A.120°
B.125°
C.130°
D.140°
答案
A
解析
∵点O到△ABC三边的距离相等，∴O是△ABC的内心，即BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=60°，∴∠BOC=180°-60°=120°。
1. 如图，PM = PN，∠BOC = 32°，则∠AOB的度数为().
A.32°
B.45°
C.64°
D.52°
A.32°
B.45°
C.64°
D.52°
答案
C
解析
∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴OP平分∠AOB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。∵∠BOC=32°，∴∠AOB=2∠BOC=64°。
2. 如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M，N，PM = PN，所以OP平分∠AOB，理由是.
答案
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
解析
根据题意，点 $ P $ 在 $ ∠AOB $ 内，且 $ PM \perp OA $，$ PN \perp OB $，并且 $ PM = PN $。
根据角的平分线的判定定理，若一点到角两边的距离相等，则该点在角的平分线上。
因此，$ OP $ 平分 $ ∠AOB $。
根据角的平分线的判定定理，若一点到角两边的距离相等，则该点在角的平分线上。
因此，$ OP $ 平分 $ ∠AOB $。
3. 如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA = PB，∠MON = 50°，∠OPC = 30°，则∠PCA = .
答案
55
解析
∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，∴OP平分∠MON（角的平分线判定定理）。
∵∠MON=50°，∴∠NOP=∠MON/2=25°。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∴∠OPA=90°-∠NOP=90°-25°=65°。
∵∠OPC=30°，∴∠APC=∠OPA-∠OPC=65°-30°=35°。
在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∴∠PCA=90°-∠APC=90°-35°=55°。
∵∠MON=50°，∴∠NOP=∠MON/2=25°。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∴∠OPA=90°-∠NOP=90°-25°=65°。
∵∠OPC=30°，∴∠APC=∠OPA-∠OPC=65°-30°=35°。
在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∴∠PCA=90°-∠APC=90°-35°=55°。
4. 如图，D，E是AC上两点，F，G是AB上两点，且DE = FG，$ S_{△ODE} = S_{△OFG} $. 求证：点O在∠BAC的平分线上.
答案
证明：过点$O$作$OM\perp AC$于$M$，$ON\perp AB$于$N$。
$\because S_{\triangle ODE}=\frac{1}{2}DE· OM$，$S_{\triangle OFG}=\frac{1}{2}FG· ON$，
又$\because S_{\triangle ODE}=S_{\triangle OFG}$，$DE = FG$，
$\therefore \frac{1}{2}DE· OM=\frac{1}{2}FG· ON$，
$\therefore OM = ON$。
$\because OM\perp AC$，$ON\perp AB$，
$\therefore$点$O$在$\angle BAC$的平分线上。
$\because S_{\triangle ODE}=\frac{1}{2}DE· OM$，$S_{\triangle OFG}=\frac{1}{2}FG· ON$，
又$\because S_{\triangle ODE}=S_{\triangle OFG}$，$DE = FG$，
$\therefore \frac{1}{2}DE· OM=\frac{1}{2}FG· ON$，
$\therefore OM = ON$。
$\because OM\perp AC$，$ON\perp AB$，
$\therefore$点$O$在$\angle BAC$的平分线上。
