9. (易错题)已知∠AOB = 60°,以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB于点M,N,分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}$MN的长度为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点P,以OP为边作∠POC = 15°,则∠BOC的度数为.

15°或45°

由尺规作图可知，OP为∠AOB的平分线，∵∠AOB=60°，∴∠AOP=∠BOP=30°。以OP为边作∠POC=15°有两种情况：①OC在∠BOP内时，∠BOC=∠BOP - ∠POC=30° - 15°=15°；②OC在∠AOP内时，∠BOC=∠BOP + ∠POC=30° + 15°=45°。综上，∠BOC的度数为15°或45°。

10. (2024西双版纳期中)如图,在△ABC中,∠BAD = 42°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,∠ABC = 2∠C,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.
(1)求∠C的度数;
(2)若$S_{△ABC} = 21,DE = 3,AB = 5,$求AC的长.

(1) 32°
(2) 9

(1) 解：
由题意，AD 是∠BAC 的平分线，∠BAD = 42°，
所以 ∠BAC = 2 × 42° = 84°。
设 ∠C = x，则 ∠ABC = 2x。
根据三角形内角和定理，
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°，
即 84° + 2x + x = 180°，
解得 3x = 96°，
所以 x = 32°。
因此，∠C = 32°。
(2)
由题意，$S_{△ABC} = 21$，DE = 3，AB = 5。
因为 DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，
所以 DE 和 DF 分别是△ABD 和△ADC 的高。
根据角平分线性质，DE = DF = 3。
设 AC = y，
则 $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ADC} = \frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × AC × DF$，
即 21 = $\frac{1}{2} × 5 × 3 + \frac{1}{2} × y × 3$，
解得 21 = 7.5 + 1.5y，
所以 1.5y = 13.5，
y = 9。
因此，AC = 9。

11. (推理能力)如图(1),在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上一点,PE//AB交BC于点E,PF//AC交BC于点F.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等;
(2)如图(2),若点P在AD的延长线上,其他条件不变,试猜想(1)中的结论还成立吗? 请证明你的猜想.

【解析】：(1)
∵PE//AB，
∴∠EPD=∠BAD（两直线平行，内错角相等）．
∵PF//AC，
∴∠FPD=∠CAD（两直线平行，内错角相等）．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠EPD=∠FPD，即PD平分∠EPF．
∵点D在∠EPF的平分线上，
∴点D到PE、PF的距离相等．
(2)结论仍成立．
证明：
∵PE//AB，
∴∠EPD=∠BAD（两直线平行，内错角相等）．
∵PF//AC，
∴∠FPD=∠CAD（两直线平行，内错角相等）．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠EPD=∠FPD，即PD平分∠EPF．
∵点D在∠EPF的平分线上，
∴点D到PE、PF的距离相等．
【答案】：(1)点D到PE的距离与点D到PF的距离相等；(2)结论成立，证明见解析．