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4. 若单项式 $-\frac{1}{3}m^{2}n^{x - 1}$ 和 $4a^{4}b^{2}c$ 的次数相同，则代数式 $x^{2} - 2x + 3$ 的值为 （
A.14
B.20
C.27
D.35
C
）A.14
B.20
C.27
D.35
答案
C
解析
单项式$-\frac{1}{3}m^{2}n^{x - 1}$的次数为$2 + (x - 1) = x + 1$，单项式$4a^{4}b^{2}c$的次数为$4 + 2 + 1 = 7$。
因为两个单项式次数相同，所以$x + 1 = 7$，解得$x = 6$。
将$x = 6$代入代数式$x^{2} - 2x + 3$，得$6^{2} - 2×6 + 3 = 36 - 12 + 3 = 27$。
C
因为两个单项式次数相同，所以$x + 1 = 7$，解得$x = 6$。
将$x = 6$代入代数式$x^{2} - 2x + 3$，得$6^{2} - 2×6 + 3 = 36 - 12 + 3 = 27$。
C
5. 已知 $(m + 3)x^{|m + 1|}y^{3}$ 是关于 $x$，$y$ 的五次单项式，则 $m$ 的值为
1
.答案
1
解析
因为$(m + 3)x^{|m + 1|}y^{3}$是关于$x$，$y$的五次单项式，所以单项式的系数不为$0$，且所有字母的指数和为$5$。
系数$m + 3 \neq 0$，解得$m \neq - 3$。
字母$x$的指数为$|m + 1|$，字母$y$的指数为$3$，则$|m + 1|+3=5$，即$|m + 1|=2$。
当$m + 1=2$时，$m=1$；当$m + 1=-2$时，$m=-3$。
又因为$m \neq - 3$，所以$m=1$。
1
系数$m + 3 \neq 0$，解得$m \neq - 3$。
字母$x$的指数为$|m + 1|$，字母$y$的指数为$3$，则$|m + 1|+3=5$，即$|m + 1|=2$。
当$m + 1=2$时，$m=1$；当$m + 1=-2$时，$m=-3$。
又因为$m \neq - 3$，所以$m=1$。
1
6. 单项式 $-x^{2}y^{3}$ 的系数是 $m$，次数是 $n$，则 $m + n=$
4
.答案
4
解析
$-x^{2}y^{3}$的系数$m=-1$，次数$n=2+3=5$，则$m + n=-1+5=4$。
4
4
7. 为了做一个试管架，在长为 $a$（单位：cm）（$a＞6$）的木板上钻 3 个小孔（如图），每个小孔的直径为 2 cm，则 $x=$
$\frac{a-6}{4}$
cm.答案
$\frac{a-6}{4}$
解析
由题意得，木板上共有4段长度为$x$的部分和3个直径为2cm的小孔，总长度为$a$cm，可列方程：$4x + 3×2 = a$，即$4x + 6 = a$，解得$x=\frac{a - 6}{4}$。
$\frac{a - 6}{4}$
$\frac{a - 6}{4}$
8. 数学规律在数学中有着极其重要的意义，我们要善于抓住主要矛盾，提炼出我们需要的信息，从而解决问题.
(1) 观察下列算式：$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$3^{5}=243$，$3^{6}=729$，$3^{7}=2187$，$3^{8}=6561$，···，通过观察，用你所发现的规律确定 $3^{2017}$ 的个位数字是
(2) 观察一列数 2，4，8，16，32，···，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是
(3) 观察下面的一列单项式：$x$，$-2x^{2}$，$4x^{3}$，$-8x^{4}$，···，根据你发现的规律，第 5 个单项式为
(1) 观察下列算式：$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$3^{5}=243$，$3^{6}=729$，$3^{7}=2187$，$3^{8}=6561$，···，通过观察，用你所发现的规律确定 $3^{2017}$ 的个位数字是
3
.(2) 观察一列数 2，4，8，16，32，···，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是
2
；根据此规律，如果 $a_{n}$（$n$ 为正整数）表示这列数的第 $n$ 项，那么 $a_{18}=$$2^{18}$
，$a_{n}=$$2^{n}$
.(3) 观察下面的一列单项式：$x$，$-2x^{2}$，$4x^{3}$，$-8x^{4}$，···，根据你发现的规律，第 5 个单项式为
$16x^{5}$
，第 7 个单项式为$64x^{7}$
，第 $n$ 个单项式为$(-2)^{n-1}x^{n}$
.答案
(1)3
(2)2 $2^{16}$ $2^{n}$
(3)16x⁵ 64x⁷ $(-2)^{n-1}x^{n}$
1. 如果 $(2 - m)x^{n}y^{4}$ 是关于 $x$，$y$ 的五次单项式，则 $m$，$n$ 满足的条件是 （
A.$m = 2$，$n = 1$
B.$m\neq2$，$n = 1$
C.$m\neq2$，$n = 5$
D.$m = 2$，$n = 5$
B
）A.$m = 2$，$n = 1$
B.$m\neq2$，$n = 1$
C.$m\neq2$，$n = 5$
D.$m = 2$，$n = 5$
答案
B
解析
因为$(2 - m)x^{n}y^{4}$是关于$x$，$y$的五次单项式，所以系数$2 - m \neq 0$，即$m \neq 2$；所有字母的指数和为$5$，即$n + 4 = 5$，解得$n = 1$。
B
B
2. 若 $(p + 2)x^{3}y^{4} + 8x^{m}y^{n + 1}$ 是关于 $x$，$y$ 的二次单项式，则 $p^{2m + 2n + 1}$ 的值为
-8
.答案
-8
解析
因为$(p + 2)x^{3}y^{4} + 8x^{m}y^{n + 1}$是关于$x$，$y$的二次单项式，所以该式只能有一项且次数为2。
对于$(p + 2)x^{3}y^{4}$，若其存在，则次数为$3 + 4 = 7$，不符合二次单项式要求，故系数$p + 2 = 0$，解得$p=-2$。
此时原式仅剩$8x^{m}y^{n + 1}$，其为二次单项式，所以$m + (n + 1)=2$，即$m + n=1$。
则$2m + 2n + 1=2(m + n)+1=2×1 + 1=3$。
所以$p^{2m + 2n + 1}=(-2)^{3}=-8$。
$-8$
对于$(p + 2)x^{3}y^{4}$，若其存在，则次数为$3 + 4 = 7$，不符合二次单项式要求，故系数$p + 2 = 0$，解得$p=-2$。
此时原式仅剩$8x^{m}y^{n + 1}$，其为二次单项式，所以$m + (n + 1)=2$，即$m + n=1$。
则$2m + 2n + 1=2(m + n)+1=2×1 + 1=3$。
所以$p^{2m + 2n + 1}=(-2)^{3}=-8$。
$-8$
3. 已知 $(a - 1)x^{2}y^{|a| + 1}$ 是关于 $x$，$y$ 的四次单项式，试求下列代数式的值.
(1) $a^{2} + 2a + 1$；
(2) $(a + 1)^{3}$.
(1) $a^{2} + 2a + 1$；
(2) $(a + 1)^{3}$.
答案
解:由题意可得2+|a|+1=4,a-1≠0,
所以可得a=-1.
(1)a²+2a+1=(-1)²+2×(-1)+1=0.
(2)(a+1)³=(-1+1)³=0.
所以可得a=-1.
(1)a²+2a+1=(-1)²+2×(-1)+1=0.
(2)(a+1)³=(-1+1)³=0.
4. 若 $3x^{m}y^{n}$ 是关于 $x$，$y$ 的五次单项式，求 $m^{n}$ 的最大值.
答案
解:由题意可得m+n=5,m和n均为正整数,因此有m=1时,n=4,此时mⁿ=1⁴=1;
m=2时,n=3,此时mⁿ=2³=8;
m=3时,n=2,此时mⁿ=3²=9;
m=4时,n=1,此时mⁿ=4¹=4.
因为9＞8＞4＞1,所以mⁿ的最大值是9.
m=2时,n=3,此时mⁿ=2³=8;
m=3时,n=2,此时mⁿ=3²=9;
m=4时,n=1,此时mⁿ=4¹=4.
因为9＞8＞4＞1,所以mⁿ的最大值是9.
5. 观察下面一列单项式的特点：$\frac{1}{2}x^{2}y$，$-\frac{1}{4}x^{3}y^{2}$，$\frac{1}{8}x^{4}y^{3}$，$-\frac{1}{16}x^{5}y^{4}$，···
(1) 写出第 8 个单项式；
(2) 猜想第 $n$（$n$ 大于 0 的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数.
(1) 写出第 8 个单项式；
(2) 猜想第 $n$（$n$ 大于 0 的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数.
答案
(1)$-\frac{1}{256}x^{9}y^{8}$.
(2)$(-1)^{n+1}\frac{1}{2^{n}}x^{n+1}y^{n}$.
它的系数为$(-1)^{n+1}\frac{1}{2^{n}}$,次数为2n+1.
