1. 如图 6 - 1 - 26,在直角三角形 $ABC$ 中,$\angle C$ 为直角,两条直角边的长分别是 6cm,8cm,斜边长为 10cm,若分别以一边所在直线为轴旋转一周,试比较所得到的几何体的体积的大小。

解:以6cm长的边所在直线为轴，所得圆锥的体积为$V_{1}=\frac{1}{3}×\pi×8^{2}×6 = 128\pi(cm^{3})$;以8cm长的边所在直线为轴，所得圆锥的体积为$V_{2}=\frac{1}{3}×\pi×6^{2}×8=96\pi(cm^{3})$;以10cm长的边所在直线为轴，所得图形的体积为$V_{3}=\frac{1}{3}×\pi×4.8^{2}×10 = 76.8\pi(cm^{3})$，其中4.8cm是AB边上的高，可用三角形面积求得，所以以6cm长的边所在直线为轴旋转，所得几何体的体积最大;以10cm长的边即斜边所在直线为轴旋转，所得几何体的体积最小.　点拨:本题先判断出旋转后的几何体的形状，再根据圆锥的体积公式计算、比较体积的大小.

解：以6cm长的边所在直线为轴，所得圆锥的体积为$V_{1}=\frac{1}{3}×\pi×8^{2}×6 = 128\pi\ cm^{3}$；
以8cm长的边所在直线为轴，所得圆锥的体积为$V_{2}=\frac{1}{3}×\pi×6^{2}×8 = 96\pi\ cm^{3}$；
以10cm长的边所在直线为轴，AB边上的高为$\frac{6×8}{10}=4.8\ cm$，所得图形的体积为$V_{3}=\frac{1}{3}×\pi×4.8^{2}×10 = 76.8\pi\ cm^{3}$；
因为$128\pi＞96\pi＞76.8\pi$，所以以6cm长的边所在直线为轴旋转所得几何体体积最大，以10cm长的边所在直线为轴旋转所得几何体体积最小。

2. 【推理问题】18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式。请你观察如图 6 - 1 - 27 所示的几种简单多面体模型,解答下列问题：

(1) 根据上面多面体模型,完成表格中的空格：
|多面体|顶点数$(V)$|面数$(F)$|棱数$(E)$|
|四面体|4|4||
|六面体|8|6|12|
|正八面体||8|12|
|正十二面体|20|12|30|

你发现顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的关系式是；
(2) 一个多面体的面数比顶点数大 8,且有 30 条棱,则这个多面体的面数是；
(3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,且有 24 个顶点,每个顶点处都有 3 条棱。设该多面体外表面三角形的个数为 $x$ 个,八边形的个数为 $y$ 个,求 $x + y$ 的值。

(1)6　6　$V+F - E=2$ 　
(2)20 　
(3)这个多面体的面数为$x + y$，棱数为$\frac{24×3}{2}=36$条，根据$V+F - E=2$可得24+(x + y)-36=2，所以$x + y=14$.