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计算1+2+3+4+…+99+100.
一个一个顺次相加显然太烦琐,我们仔细观察这个式子的特点,发现运用加法的运算律可以简化计算,提高计算速度.
1+2+3+…+99+100= (1+100)+(2+99)+…+(50+51)= 101×50= 5050.
根据上面提供的方法,你能计算下面这个代数式的结果吗?
$a+(a+m)+(a+2m)+(a+3m)+… +(a+100m)$.
一个一个顺次相加显然太烦琐,我们仔细观察这个式子的特点,发现运用加法的运算律可以简化计算,提高计算速度.
1+2+3+…+99+100= (1+100)+(2+99)+…+(50+51)= 101×50= 5050.
根据上面提供的方法,你能计算下面这个代数式的结果吗?
$a+(a+m)+(a+2m)+(a+3m)+… +(a+100m)$.
答案
$101a + 5050m$
解析
$a+(a+m)+(a+2m)+(a+3m)+\dots +(a+100m)$
$=(a+a+\dots +a)+(0+m+2m+\dots +100m)$
$=101a + m(0+1+2+\dots +100)$
$=101a + m×\frac{100×(100+1)}{2}$
$=101a + 5050m$
$=(a+a+\dots +a)+(0+m+2m+\dots +100m)$
$=101a + m(0+1+2+\dots +100)$
$=101a + m×\frac{100×(100+1)}{2}$
$=101a + 5050m$
例1 两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水航行,乙船逆水航行,两船在静水中的速度都是50 km/h,水流速度是a km/h.
(1)2 h后两船相距多远？
(2)2 h后甲船比乙船多航行多少千米？
(1)2 h后两船相距多远？
(2)2 h后甲船比乙船多航行多少千米？
答案
解:顺水航速=船速+水流速度$= (50+a)\ \mathrm {km/h},$逆水航速=船速-水流速度$= (50 - a)\ \mathrm {km/h}.$
$(1) 2\ \mathrm {h}$后两船相距$2(50+a)+2(50-a)=100+ 2a+100-2a =200(\ \mathrm {km}).$
(2)2h后甲船比乙船多航行$2(50+a)-2(50-a)=100+2a -100+ 2a= 4a(\ \mathrm {km}).$
$(1) 2\ \mathrm {h}$后两船相距$2(50+a)+2(50-a)=100+ 2a+100-2a =200(\ \mathrm {km}).$
(2)2h后甲船比乙船多航行$2(50+a)-2(50-a)=100+2a -100+ 2a= 4a(\ \mathrm {km}).$
例2 已知代数式$a^{2}+2a+7$的值为5,求代数式$2a^{2}+4a-4$的值.
答案
解:由题意可得:a²+2a+7=5,即a²+2a=-2
∴原式=2(a²+2a)-4=2×(-2)-4=-8
∴原式=2(a²+2a)-4=2×(-2)-4=-8
1. 化简：
(1)$12(x-0.5)$；
(2)$-5(1-\frac{1}{5}x)$；
(3)$-5a+(3a-2)-(3a-7)$；
(4)$\frac{1}{3}(9y-3)+2(y+1)$.
(1)$12(x-0.5)$；
(2)$-5(1-\frac{1}{5}x)$；
(3)$-5a+(3a-2)-(3a-7)$；
(4)$\frac{1}{3}(9y-3)+2(y+1)$.
答案
解：原式=12x-6
解：原式=-5+x
解：原式= -5a+3a-2-3a+7
\ \ \ \ \ \ \ \ =-5a+5
解：原式=3y-1+2y+2
\ \ \ \ \ \ \ \ =5y+1
解：原式=-5+x
解：原式= -5a+3a-2-3a+7
\ \ \ \ \ \ \ \ =-5a+5
解：原式=3y-1+2y+2
\ \ \ \ \ \ \ \ =5y+1
