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例 1 如图 3.3.1,将一根长 24 cm 的筷子,置于底面直径为 5 cm,高为 12 cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为 h cm,则 h 的取值范围是( )
A.$ 12 \mathrm { cm } \leqslant h \leqslant 19 \mathrm { cm } $
B.$ 12 \mathrm { cm } \leqslant h \leqslant 17 \mathrm { cm } $
C.$ 11 \mathrm { cm } \leqslant h \leqslant 12 \mathrm { cm } $
D.$ 5 \mathrm { cm } \leqslant h \leqslant 12 \mathrm { cm } $
A.$ 12 \mathrm { cm } \leqslant h \leqslant 19 \mathrm { cm } $
B.$ 12 \mathrm { cm } \leqslant h \leqslant 17 \mathrm { cm } $
C.$ 11 \mathrm { cm } \leqslant h \leqslant 12 \mathrm { cm } $
D.$ 5 \mathrm { cm } \leqslant h \leqslant 12 \mathrm { cm } $
答案
C
例 2 如图 3.3.2,一条笔直的马路边有 A,B 两个公交站台相距 25 km,C,D 为两所学校,且 $ D A \perp A B $,$ C B \perp A B $,垂足分别为 A,B.已知 $ D A = 15 \mathrm { km } $,现在要在公路边建一图书馆 H,使得 C,D 两所学校到图书馆 H 的距离相等,且 $ \angle D H C = 90 ^ { \circ } $.图书馆 H 应建在距离公交站 A 多远处？学校 C 到这条公路的距离是多少千米？
答案
解：设图书馆 H 距离公交站 A 为$ x\mathrm {km}，$学校 C 到公路的距离为$ y\mathrm {km}$
∵$DA \perp AB，$$CB \perp AB$
∴$\triangle DAH$和$\triangle HBC$均为直角三角形
由 DH=CH 可得$ 15^2 + x^2=(25 - x)^2 + y^2$
由$∠DHC=90^\circ $可得 x(25 - x) = 15y
联立解得 x=10，y=10
∴图书馆 H 应建在距离公交站$ A 10\ \mathrm {km }$处，学校 C 到这条公路的距离是$10\ \mathrm {km}$
∵$DA \perp AB，$$CB \perp AB$
∴$\triangle DAH$和$\triangle HBC$均为直角三角形
由 DH=CH 可得$ 15^2 + x^2=(25 - x)^2 + y^2$
由$∠DHC=90^\circ $可得 x(25 - x) = 15y
联立解得 x=10，y=10
∴图书馆 H 应建在距离公交站$ A 10\ \mathrm {km }$处，学校 C 到这条公路的距离是$10\ \mathrm {km}$
例 3 如图 3.3.3,折叠长方形纸片 ABCD,使点 D 落在边 BC 上的点 F 处,折痕为 AE.已知该纸片宽 $ A B = 6 \mathrm { cm } $,长 $ A D = 10 \mathrm { cm } $,求 EC 的长.
答案
解： ∵四边形 ABCD 是矩形
∴ BC=AD=10 {cm}，CD=AB=6 {cm}
由折叠得 AF=AD=10 {cm}，EF=DE=6-EC
∴$ BF=\sqrt {AF^2-AB^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8({cm})$
∴ CF=BC-BF=10-8=2({cm})
∵$ CF^2+EC^2=EF^2$
∴$ 2^2+EC^2=(6-EC)^2，$解得$ EC=\frac 83({cm})$
∴ EC 的长是$ \frac 83 {cm}$
∴ BC=AD=10 {cm}，CD=AB=6 {cm}
由折叠得 AF=AD=10 {cm}，EF=DE=6-EC
∴$ BF=\sqrt {AF^2-AB^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8({cm})$
∴ CF=BC-BF=10-8=2({cm})
∵$ CF^2+EC^2=EF^2$
∴$ 2^2+EC^2=(6-EC)^2，$解得$ EC=\frac 83({cm})$
∴ EC 的长是$ \frac 83 {cm}$
