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8. (★★)已知点 $ P(x,y) $ 的坐标满足方程 $ (x + 3)^2 + \sqrt{y + 4} = 0 $,求点 $ P $ 分别关于 $ x $ 轴、$ y $ 轴以及原点的对称点坐标。
答案
答题卡作答：
因为$(x + 3)^2\geq0$，$\sqrt{y + 4}\geq0$，且$(x + 3)^2 + \sqrt{y + 4} = 0$，
所以$x + 3 = 0$，$y + 4 = 0$，
解得$x = - 3$，$y = - 4$，
所以点$P$的坐标为$(-3,-4)$。
点$P(-3,-4)$关于$x$轴的对称点坐标为$(-3,4)$；
点$P(-3,-4)$关于$y$轴的对称点坐标为$(3,-4)$；
点$P(-3,-4)$关于原点的对称点坐标为$(3,4)$。
综上，点$P$关于$x$轴、$y$轴、原点的对称点坐标分别为$(-3,4)$，$(3,-4)$，$(3,4)$。
因为$(x + 3)^2\geq0$，$\sqrt{y + 4}\geq0$，且$(x + 3)^2 + \sqrt{y + 4} = 0$，
所以$x + 3 = 0$，$y + 4 = 0$，
解得$x = - 3$，$y = - 4$，
所以点$P$的坐标为$(-3,-4)$。
点$P(-3,-4)$关于$x$轴的对称点坐标为$(-3,4)$；
点$P(-3,-4)$关于$y$轴的对称点坐标为$(3,-4)$；
点$P(-3,-4)$关于原点的对称点坐标为$(3,4)$。
综上，点$P$关于$x$轴、$y$轴、原点的对称点坐标分别为$(-3,4)$，$(3,-4)$，$(3,4)$。
9. (★)点 $ A(4,n) $ 关于原点对称的点的坐标是 $ (m,-2) $,则 $ m + n $ 的值是
$-2$
。答案
$-2$
解析
根据关于原点对称的点的坐标性质，点 $ A(4,n) $ 关于原点对称的点的坐标为 $ (-4,-n) $。
已知对称点的坐标为 $ (m,-2) $，因此有：
$m = -4$，
$-n = -2 \implies n = 2$。
所以 $ m + n = -4 + 2 = -2 $。
已知对称点的坐标为 $ (m,-2) $，因此有：
$m = -4$，
$-n = -2 \implies n = 2$。
所以 $ m + n = -4 + 2 = -2 $。
10. (★★)如图 23.2-27,在平面直角坐标系中,$ \triangle PQR $ 是 $ \triangle ABC $ 经过某种变换后得到的图形,观察点 $ A $ 与点 $ P $、点 $ B $ 与点 $ Q $、点 $ C $ 与点 $ R $ 的坐标之间的关系。在这种变换下,如果 $ \triangle ABC $ 中任意一点 $ M $ 的坐标为 $ (x,y) $,那么它的对应点 $ N $ 的坐标是
(-x,-y)
。答案
(-x,-y)
解析
由图可知，点A(4,3)对应点P(-4,-3)，点B(3,1)对应点Q(-3,-1)，点C(1,2)对应点R(-1,-2)，横纵坐标均互为相反数，故此变换为关于原点对称。所以点M(x,y)的对应点N的坐标是(-x,-y)。
11. (★★)在平面直角坐标系中,已知 $ A(2,3) $,$ B(0,1) $,$ C(3,1) $,若线段 $ AC $ 与 $ BD $ 互相平分,则点 $ D $ 关于坐标原点的对称点的坐标为
(-5,-3)
。答案
(-5,-3)
解析
∵线段AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴对角线互相平分，即AC的中点与BD的中点重合。
A(2,3)，C(3,1)，AC中点坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{3+1}{2})=(2.5,2)$。
设D(x,y)，B(0,1)，BD中点坐标为$(\frac{0+x}{2},\frac{1+y}{2})$。
则$\frac{x}{2}=2.5$，$\frac{1+y}{2}=2$，解得x=5，y=3，∴D(5,3)。
点D关于原点对称的点的坐标为(-5,-3)。
A(2,3)，C(3,1)，AC中点坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{3+1}{2})=(2.5,2)$。
设D(x,y)，B(0,1)，BD中点坐标为$(\frac{0+x}{2},\frac{1+y}{2})$。
则$\frac{x}{2}=2.5$，$\frac{1+y}{2}=2$，解得x=5，y=3，∴D(5,3)。
点D关于原点对称的点的坐标为(-5,-3)。
12. (★★)已知点 $ P(a - 3,2b + 4) $ 与点 $ Q(b + 5,3a - 7) $ 关于原点对称,则直线 $ y = ax + b $ 经过第
一、三、四
象限。答案
一、三、四
解析
因为点P(a-3,2b+4)与点Q(b+5,3a-7)关于原点对称，所以它们的横、纵坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}b + 5 = -(a - 3) \\3a - 7 = -(2b + 4)\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + b = -2 \\3a + 2b = 3\end{cases}$
解方程组，由第一个方程得$b = -2 - a$，代入第二个方程：$3a + 2(-2 - a) = 3$，解得$a = 7$，则$b = -9$。直线为$y = 7x - 9$，因为$k = 7 ＞ 0$，$b = -9 ＜ 0$，所以直线经过第一、三、四象限。
$\begin{cases}b + 5 = -(a - 3) \\3a - 7 = -(2b + 4)\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + b = -2 \\3a + 2b = 3\end{cases}$
解方程组，由第一个方程得$b = -2 - a$，代入第二个方程：$3a + 2(-2 - a) = 3$，解得$a = 7$，则$b = -9$。直线为$y = 7x - 9$，因为$k = 7 ＞ 0$，$b = -9 ＜ 0$，所以直线经过第一、三、四象限。
13. (★★)如图 23.2-28,阴影部分组成的图案既是关于 $ x $ 轴成轴对称的图形,又是关于坐标原点 $ O $ 成中心对称的图形。若点 $ A $ 的坐标是 $ (1,3) $,则点 $ M $ 和点 $ N $ 的坐标分别为【
A.$ M(1,-3) $,$ N(-1,-3) $
B.$ M(-1,-3) $,$ N(-1,3) $
C.$ M(-1,-3) $,$ N(1,-3) $
D.$ M(-1,3) $,$ N(1,-3) $
C
】A.$ M(1,-3) $,$ N(-1,-3) $
B.$ M(-1,-3) $,$ N(-1,3) $
C.$ M(-1,-3) $,$ N(1,-3) $
D.$ M(-1,3) $,$ N(1,-3) $
答案
C
解析
关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。
已知点A(1,3)，图案关于x轴对称，故A关于x轴的对称点坐标为(1,-3)；图案关于原点对称，故A关于原点的对称点坐标为(-1,-3)。结合选项及对称性，点M为(-1,-3)，点N为(1,-3)。
已知点A(1,3)，图案关于x轴对称，故A关于x轴的对称点坐标为(1,-3)；图案关于原点对称，故A关于原点的对称点坐标为(-1,-3)。结合选项及对称性，点M为(-1,-3)，点N为(1,-3)。
14. (★★)如图 23.2-29,已知点 $ A(3,2) $,$ B(0,1) $,$ C(-4,-4) $,$ D(-4,0) $。
(1)画出点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A' $；
(2)画出点 $ B $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ B' $；
(3)画出点 $ C $ 关于原点的对称点 $ C' $；
(4)画出点 $ D $ 关于原点的对称点 $ D' $。
(1)画出点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A' $；
(2)画出点 $ B $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ B' $；
(3)画出点 $ C $ 关于原点的对称点 $ C' $；
(4)画出点 $ D $ 关于原点的对称点 $ D' $。
答案
(1) 点 $ A(3, 2) $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A' $ 的坐标为 $ (-3, 2) $，在坐标系中标记点 $ A'(-3, 2) $。
(2) 点 $ B(0, 1) $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ B' $ 的坐标为 $ (0, -1) $，在坐标系中标记点 $ B'(0, -1) $。
(3) 点 $ C(-4, -4) $ 关于原点的对称点 $ C' $ 的坐标为 $ (4, 4) $，在坐标系中标记点 $ C'(4, 4) $。
(4) 点 $ D(-4, 0) $ 关于原点的对称点 $ D' $ 的坐标为 $ (4, 0) $，在坐标系中标记点 $ D'(4, 0) $。
如图所示
