9. 在实数范围内分解因式 $x^{2} - 2x - 4 = $ 。

$(x - 1 + \sqrt{5})(x - 1 - \sqrt{5})$

对于 $x^{2} - 2x - 4$，首先，我们使用配方法将其化为完全平方的形式。
考虑中间项的系数的一半的平方，即$(\frac{-2}{2})^2 = 1$，我们有：
$x^{2} - 2x - 4 = x^{2} - 2x + 1 - 5 = (x - 1)^{2} - 5$
接着，利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们有：
$(x - 1)^{2} - 5 = (x - 1 + \sqrt{5})(x - 1 - \sqrt{5})$

10. 已知 $a + 2b = 4$,$ab = 2$,则 $a^{2} + 4b^{2} = $,$(a - 2b)^{2} = $。

8,0

因为$a + 2b = 4$，所以$(a + 2b)^2 = 4^2 = 16$，即$a^2 + 4ab + 4b^2 = 16$。又因为$ab = 2$，所以$4ab = 8$，则$a^2 + 4b^2 = 16 - 8 = 8$。
$(a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 = (a^2 + 4b^2) - 4ab = 8 - 8 = 0$。

11. 小玉和小丽做游戏,两人各报一个整式,小玉报的整式作为被除式,小丽报的整式作为除式,要求商式必须是 $3ab$。若小玉报的整式是 $3a^{2}b - ab^{2}$,则小丽报的整式是 ；若小丽报的整式是 $9a^{2}b$,则小玉报的整式是 。

$a - \frac{1}{3}b$；$27a^{3}b^{2}$

小丽报的整式：$(3a^{2}b - ab^{2})÷3ab = 3a^{2}b÷3ab - ab^{2}÷3ab = a - \frac{1}{3}b$；小玉报的整式：$3ab×9a^{2}b = 27a^{3}b^{2}$

12. 把一根 $20cm$ 长的铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形。若这两个正方形的面积之差是 $5cm^{2}$,则这两段铁丝的长分别为 。

$12cm$和$8cm$（或$8cm$和$12cm$，按格式要求这里只需体现两个答案数值即可）

设其中一段铁丝的长为$xcm$，则另一段为$(20 - x)cm$。
由$正方形面积=\text边长×\text边长$，根据题意得$\left(\frac{x}{4}\right)^{2}-\left(\frac{20 - x}{4}\right)^{2}=5$（或$\left(\frac{20 - x}{4}\right)^{2}-\left(\frac{x}{4}\right)^{2}=5$）。
方程$\left(\frac{x}{4}\right)^{2}-\left(\frac{20 - x}{4}\right)^{2}=5$化简为$\frac{x^{2}}{16}-\frac{(20 - x)^{2}}{16}=5$，
等式两边同时乘以$16$得到$x^{2}-(20 - x)^{2}=80$，
利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$展开得$x^{2}-(400-40x+x^{2}) = 80$，
去括号得$x^{2}-400 + 40x - x^{2}=80$，
合并同类项得$40x-400 = 80$，
移项得$40x=480$，
解得$x = 12$，则另一段$20 - x = 8$。
方程$\left(\frac{20 - x}{4}\right)^{2}-\left(\frac{x}{4}\right)^{2}=5$化简过程同上，解得$x = 8$，则另一段$20 - x = 12$。
所以两段铁丝的长分别为$12cm$和$8cm$。

13. 一个大正方形和四个全等的小正方形按如图 1 和图 2 的两种方式摆放,则图 2 的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 (用含 $a$,$b$ 的式子表示)。

ab

设大正方形边长为$x$，小正方形边长为$y$。由图1得$x + 2y = a$，由图2得$x - 2y = b$。未被覆盖部分面积为大正方形面积减去四个小正方形面积，即$x^2 - 4y^2$。利用平方差公式可得$x^2 - 4y^2=(x - 2y)(x + 2y)=ab$。

14. 先化简,再求值：
(1)$(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)(a - b)$,其中 $a = \frac{1}{2}$,$b = -1$；
(2)$(a - 2b)(a + 2b) + ab^{3} ÷ (-ab)$,其中 $a = \sqrt{2}$,$b = -1$。

(1)
首先化简$(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)(a - b)$：
$(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)(a - b)$
$=a^{2} - 2ab - b^{2} - (a^{2} - b^{2})$
$=a^{2} - 2ab - b^{2} - a^{2} + b^{2}$
$=- 2ab$
当$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$时，
$-2×\frac{1}{2}×(-1)=1$。
(2)
首先化简$(a - 2b)(a + 2b) + ab^{3} ÷ (-ab)$：
$(a - 2b)(a + 2b) + ab^{3} ÷ (-ab)$
$=a^{2} - 4b^{2} - b^{2}$
$=a^{2} - 5b^{2}$
当$a = \sqrt{2}$，$b = -1$时，
$(\sqrt{2})^{2} - 5×(-1)^{2}$
$=2 - 5$
$=-3$

15. 分解因式：
(1)$3x^{2}y - 27y$；
(2)$20a^{2}b - 20ab + 5b$；
(3)$a^{2}(m - n) + 9(n - m)$；
(4)$-9(2x - 1)^{2} - 6(2x - 1) - 1$。

(1)
$\;\;\;\;3x^{2}y - 27y$
$=3y(x^{2}-9)$
$=3y(x + 3)(x - 3)$
(2)
$\;\;\;\;20a^{2}b - 20ab + 5b$
$=5b(4a^{2}-4a + 1)$
$=5b(2a - 1)^{2}$
(3)
$\;\;\;\;a^{2}(m - n)+9(n - m)$
$=a^{2}(m - n)-9(m - n)$
$=(m - n)(a^{2}-9)$
$=(m - n)(a + 3)(a - 3)$
(4)
$\;\;\;\;-9(2x - 1)^{2}-6(2x - 1)-1$
$=-[9(2x - 1)^{2}+6(2x - 1)+1]$
令$t = 2x - 1$，则原式$=-(9t^{2}+6t + 1)$
$=-(3t + 1)^{2}$
把$t = 2x - 1$代回得：
$=-(3(2x - 1)+1)^{2}$
$=-(6x-3 + 1)^{2}$
$=-(6x - 2)^{2}$
$=-4(3x - 1)^{2}$

16. 设 $A = 2x^{2} - 3xy + y^{2} - x + 2y$,$B = 4x^{2} - 6xy + 2y^{2} - 3x - y$,若 $|x - 2a| + (y + 3)^{2} = 0$,且 $-2A + B = a$,求 $A$ 的值。

283

因为|x - 2a| + (y + 3)² = 0，且|x - 2a|≥0，(y + 3)²≥0，所以x - 2a = 0，y + 3 = 0，即x = 2a，y = -3。
A = 2x² - 3xy + y² - x + 2y，B = 4x² - 6xy + 2y² - 3x - y，
-2A + B = -2(2x² - 3xy + y² - x + 2y) + (4x² - 6xy + 2y² - 3x - y)
= -4x² + 6xy - 2y² + 2x - 4y + 4x² - 6xy + 2y² - 3x - y
= (-4x² + 4x²) + (6xy - 6xy) + (-2y² + 2y²) + (2x - 3x) + (-4y - y)
= -x - 5y。
因为-2A + B = a，所以 -x - 5y = a。
将x = 2a，y = -3代入，得 -2a - 5×(-3) = a，即 -2a + 15 = a，解得a = 5。
则x = 2a = 10，y = -3。
A = 2×10² - 3×10×(-3) + (-3)² - 10 + 2×(-3)
= 2×100 + 90 + 9 - 10 - 6
= 200 + 90 + 9 - 10 - 6
= 283。