登录
1. 下列计算错误的是(
A.$5x(y - 1) = 5xy - 5x$
B.$-6x(x - 6) = 36x - 6x^{2}$
C.$(x + 1)(x - 5) = x^{2} - 5$
D.$(x + \frac{1}{3})^{2} = x^{2} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$
C
)A.$5x(y - 1) = 5xy - 5x$
B.$-6x(x - 6) = 36x - 6x^{2}$
C.$(x + 1)(x - 5) = x^{2} - 5$
D.$(x + \frac{1}{3})^{2} = x^{2} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$
答案
C
解析
A. 使用分配律，$5x(y - 1) = 5x \cdot y - 5x \cdot 1 = 5xy - 5x$，正确。
B. 使用分配律，$-6x(x - 6) = -6x \cdot x + (-6x) \cdot (-6) = -6x^{2} + 36x$，正确。
C. 使用多项式乘法，$(x + 1)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-5) = x^{2} - 5x + x - 5 = x^{2} - 4x - 5$，与$x^{2} - 5$不相等，错误。
D. 使用平方公式，$(x + \frac{1}{3})^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2} = x^{2} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$，正确。
B. 使用分配律，$-6x(x - 6) = -6x \cdot x + (-6x) \cdot (-6) = -6x^{2} + 36x$，正确。
C. 使用多项式乘法，$(x + 1)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-5) = x^{2} - 5x + x - 5 = x^{2} - 4x - 5$，与$x^{2} - 5$不相等，错误。
D. 使用平方公式，$(x + \frac{1}{3})^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2} = x^{2} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$，正确。
2. 若 $4x^{2} - 12xy + 9y^{2} = 0$,则 $\frac{x - y}{x + y}$ 的值是(
A.$-\frac{1}{5}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{5y}$
C
)A.$-\frac{1}{5}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{5y}$
答案
C
解析
由 $4x^{2} - 12xy + 9y^{2} = 0$，根据完全平方公式，可变形为 $(2x - 3y)^{2} = 0$，即 $2x - 3y = 0$，可得 $2x = 3y$，则 $x=\frac{3}{2}y$。
将 $x = \frac{3}{2}y$ 代入 $\frac{x - y}{x + y}$ 可得：
$\frac{\frac{3}{2}y - y}{\frac{3}{2}y + y}=\frac{\frac{1}{2}y}{\frac{5}{2}y}=\frac{1}{5}$
将 $x = \frac{3}{2}y$ 代入 $\frac{x - y}{x + y}$ 可得：
$\frac{\frac{3}{2}y - y}{\frac{3}{2}y + y}=\frac{\frac{1}{2}y}{\frac{5}{2}y}=\frac{1}{5}$
3. 已知 $x$ 为任意实数,则 $x - 1 - \frac{1}{4}x^{2}$ 的值(
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能为正数、负数或 $0$
B
)A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能为正数、负数或 $0$
答案
B
解析
原式 $x - 1 - \frac{1}{4}x^{2}$ 可化简为：
$-\frac{1}{4}x^{2} + x - 1$
提取公因数 $-\frac{1}{4}$，得：
$-\frac{1}{4}(x^{2} - 4x + 4)$
进一步化简为：
$-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}$
由于 $(x - 2)^{2} \geq 0$（任何实数的平方都是非负的），且前面有负号，所以：
$-\frac{1}{4}(x - 2)^{2} \leq 0$
即原式的值不可能为正数。
$-\frac{1}{4}x^{2} + x - 1$
提取公因数 $-\frac{1}{4}$，得：
$-\frac{1}{4}(x^{2} - 4x + 4)$
进一步化简为：
$-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}$
由于 $(x - 2)^{2} \geq 0$（任何实数的平方都是非负的），且前面有负号，所以：
$-\frac{1}{4}(x - 2)^{2} \leq 0$
即原式的值不可能为正数。
4. 若 $a + b = 3$,$a^{2} + b^{2} = 7$,则 $ab$ 的值为(
A.$2$
B.$1$
C.$-2$
D.$-1$
B
)A.$2$
B.$1$
C.$-2$
D.$-1$
答案
B
解析
根据完全平方公式，有$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
将$a + b = 3$代入，得到$(a + b)^2 = 3^2 = 9$，
即$a^2 + 2ab + b^2 = 9$，
又因为$a^2 + b^2 = 7$，将其代入上式，得到$7 + 2ab = 9$，
解得$ab = 1$。
将$a + b = 3$代入，得到$(a + b)^2 = 3^2 = 9$，
即$a^2 + 2ab + b^2 = 9$，
又因为$a^2 + b^2 = 7$，将其代入上式，得到$7 + 2ab = 9$，
解得$ab = 1$。
5. 如图,从边长为 $a + 1$ 的正方形纸片中剪去一个边长为 $a - 1$ 的正方形($a ＞ 1$,单位：$cm$),剩余部分沿虚线剪开,拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则该长方形的面积为(
A.$2cm^{2}$
B.$2acm^{2}$
C.$4acm^{2}$
D.$(a^{2} - 1)cm^{2}$
C
)A.$2cm^{2}$
B.$2acm^{2}$
C.$4acm^{2}$
D.$(a^{2} - 1)cm^{2}$
答案
C
解析
原大正方形边长为 $a+1$，其面积为 $(a+1)^2$。
剪去的小正方形边长为 $a-1$，其面积为 $(a-1)^2$。
剩余部分的面积为 $(a+1)^2 - (a-1)^2$。
展开并化简：
$(a+1)^2 - (a-1)^2 = (a^2 + 2a + 1) - (a^2 - 2a + 1) = 4a$。
因此，长方形的面积为 $4a cm^2$。
剪去的小正方形边长为 $a-1$，其面积为 $(a-1)^2$。
剩余部分的面积为 $(a+1)^2 - (a-1)^2$。
展开并化简：
$(a+1)^2 - (a-1)^2 = (a^2 + 2a + 1) - (a^2 - 2a + 1) = 4a$。
因此，长方形的面积为 $4a cm^2$。
6. 在实数范围内,$4x^{2} - 5$ 可分解因式为(
A.$(2x + \sqrt{5})^{2}$
B.$(4x + \sqrt{5})(4x - \sqrt{5})$
C.$(2x + \sqrt{5})(2x - \sqrt{5})$
D.$(2x - \sqrt{5})^{2}$
C
)A.$(2x + \sqrt{5})^{2}$
B.$(4x + \sqrt{5})(4x - \sqrt{5})$
C.$(2x + \sqrt{5})(2x - \sqrt{5})$
D.$(2x - \sqrt{5})^{2}$
答案
C
解析
原式$4x^{2}-5$可看作是$(2x)^{2}-(\sqrt{5})^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2x$，$b=\sqrt{5}$，则$4x^{2}-5=(2x+\sqrt{5})(2x - \sqrt{5})$。
7. 如图所示是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”。此图揭示了 $(a + b)^{n}$($n$ 为非负整数)的展开式的项数及各项系数之间的规律,则 $(a + b)^{4}$ 的展开式中所缺的项为(
A.$4ab^{3}$
B.$6a^{2}b^{2}$
C.$6a^{2}b^{2} + 4ab^{3}$
D.$4a^{2}b^{2}$
C
)A.$4ab^{3}$
B.$6a^{2}b^{2}$
C.$6a^{2}b^{2} + 4ab^{3}$
D.$4a^{2}b^{2}$
答案
C
解析
由杨辉三角规律，$(a+b)^n$展开式系数为第$n+1$行数字。$(a+b)^4$对应第5行，系数依次为1,4,6,4,1。展开式为$a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$，所缺项为$6a^2b^2 + 4ab^3$。
8. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码。有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆。原理是：如对于多项式 $x^{4} - y^{4}$,因式分解的结果是 $(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})$,取 $x = 9$,$y = 9$ 时,各个因式的值是：$(x - y) = 0$,$(x + y) = 18$,$x^{2} + y^{2} = 162$,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式 $9x^{4} - x^{2}y^{2}$,取 $x = 8$,$y = 11$ 时,用上述方法产生的密码不可能是(
A.643513
B.643153
C.641335
D.356413
B
)A.643513
B.643153
C.641335
D.356413
答案
B
解析
对多项式$9x^4 - x^2y^2$因式分解：先提取公因式$x^2$得$x^2(9x^2 - y^2)$，再用平方差公式分解$9x^2 - y^2=(3x - y)(3x + y)$，故结果为$x^2(3x - y)(3x + y)$。
当$x = 8$，$y = 11$时：$x^2=8^2=64$，$3x - y=3×8 - 11=13$，$3x + y=3×8 + 11=35$，三个因式值为64、13、35。
可能的密码是这三个数的排列组合：641335（C）、643513（A）、356413（D）等，B选项643153无法由64、13、35组合得到。
当$x = 8$，$y = 11$时：$x^2=8^2=64$，$3x - y=3×8 - 11=13$，$3x + y=3×8 + 11=35$，三个因式值为64、13、35。
可能的密码是这三个数的排列组合：641335（C）、643513（A）、356413（D）等，B选项643153无法由64、13、35组合得到。
