11. (1)若$a^{x}= 2$,$b^{x}= 3$,则$(ab)^{3x}=$；
(2)计算$0.5^{24}×(-2)^{25}$的结果为；
(3)已知$(a - 2)^{2}+\vert b-\frac{1}{2}\vert=0$,则$a^{2026}\cdot b^{2025}$的值为；
(4)已知$x^{m}= 2$,$y^{n}= 5$,那么$x^{2m}y^{2n}=$.

(1) 216；
(2) -2；
(3) 2；
(4) 100。

(1) 根据幂的乘方与积的乘方性质，有：
$(ab)^{3x} = (a^x \cdot b^x)^3$，
代入 $a^x = 2$ 和 $b^x = 3$，得：
$(ab)^{3x} = (2 × 3)^3 = 6^3 = 216$。
(2) 根据幂的乘方与积的乘方性质，有：
$0.5^{24} × (-2)^{25} = 0.5^{24} × (-2)^{24} × (-2)$
$= [0.5 × (-2)]^{24} × (-2)$
$= (-1)^{24} × (-2)$
$= 1 × (-2)$
$= -2$
(3) 由于 $(a - 2)^2 + |b - \frac{1}{2}| = 0$，
根据非负数的性质，有：
$a - 2 = 0$，
$b - \frac{1}{2} = 0$，
解得 $a = 2$，$b = \frac{1}{2}$。
因此，
$a^{2026} \cdot b^{2025} = 2^{2026} × \left(\frac{1}{2}\right)^{2025}$
$= 2 × 2^{2025} × \left(\frac{1}{2}\right)^{2025}$
$= 2 × (2 × \frac{1}{2})^{2025}$
$= 2 × 1^{2025}$
$= 2$
(4) 根据幂的乘方性质，有：
$x^{2m}y^{2n} = (x^m)^2 × (y^n)^2$
代入 $x^m = 2$ 和 $y^n = 5$，得：
$x^{2m}y^{2n} = 2^2 × 5^2 = 4 × 25 = 100$

12. 计算：
(1)$(x^{n}y^{3n})^{2}+(x^{2}y^{6})^{n}$；
(2)$(2a^{3})^{2}+a^{2}\cdot a^{4}+(-a^{2})^{3}$；
(3)$(-0.125)^{12}×(-1\frac{2}{3})^{7}×(-8)^{13}×(-\frac{3}{5})^{8}$；
(4)$4^{2023}×0.25^{2022}-8^{2023}×0.125^{2022}$.

(1)原式$=(x^{n})^{2}(y^{3n})^{2}+(x^{2})^{n}(y^{6})^{n}$
$=x^{2n}y^{6n}+x^{2n}y^{6n}$
$=2x^{2n}y^{6n}$
(2)原式$=2^{2}(a^{3})^{2}+a^{2+4}+(-1)^{3}(a^{2})^{3}$
$=4a^{6}+a^{6}-a^{6}$
$=4a^{6}$
(3)原式$=[(-0.125)×(-8)]^{12}×(-8)×[(-\frac {5}{3})×(-\frac {3}{5})]^{7}×(-\frac {3}{5})$
$=1^{12}×(-8)×1^{7}×(-\frac {3}{5})$
$=(-8)×(-\frac {3}{5})$
$=\frac {24}{5}$
(4)原式$=4^{2022}×4×0.25^{2022}-8^{2022}×8×0.125^{2022}$
$=(4×0.25)^{2022}×4-(8×0.125)^{2022}×8$
$=1^{2022}×4-1^{2022}×8$
$=4-8$
$=-4$

13. 若$3^{5}= a$,$5^{3}= b$,用$a$,$b表示15^{15}$.

$15^{15}=(3×5)^{15}$
$=3^{15}×5^{15}$
$=(3^{5})^{3}×(5^{3})^{5}$
$=a^{3}b^{5}$

14. 已知$3^{x + 2}\cdot5^{x + 2}= 15^{3x - 4}$,求$x$的值.

答题卡：
由题意，根据积的乘方运算法则，将 $3^{x + 2} \cdot 5^{x + 2}$ 变形为 $(3 × 5)^{x + 2}$，即：
$15^{x + 2}$，
所以原方程 $3^{x + 2} \cdot 5^{x + 2} = 15^{3x - 4}$ 可以化简为：
$15^{x + 2} = 15^{3x - 4}$，
由于底数相同，根据指数的性质，指数也必须相等，即：
$x + 2 = 3x - 4$，
移项并化简得：
$2x = 6$，
解得：
$x = 3$。

15. 已知$2^{n}= a$,$5^{n}= b$,$20^{n}= c$,试探究$a$,$b$,$c$之间的关系.

因为 $20^{n} = (2^{2} × 5)^{n}$，
根据积的乘方运算法则，可化为：
$20^{n} = (2^{2})^{n} × 5^{n}$
再根据幂的乘方运算法则，得：
$(2^{2})^{n} = 2^{2n} = (2^{n})^{2}$
代入已知的 $2^{n} = a$ 和 $5^{n} = b$，得到：
$20^{n} = (2^{n})^{2} × 5^{n} = a^{2} × b$
由题目已知 $20^{n} = c$，所以：
$c = a^{2}b$。