1. 计算 $2x^{2}\cdot (-3x^{3})$ 的结果是()
A.$-2x^{6}$
B.$2x^{6}$
C.$-6x^{5}$
D.$6x^{5}$

C

根据单项式与单项式相乘的法则，先把它们的系数相乘，再同底数幂相乘。
系数相乘：$2×(-3)= -6$。
同底数幂相乘：$x^{2}\cdot x^{3}=x^{2 + 3}=x^{5}$。
所以$2x^{2}\cdot(-3x^{3})=-6x^{5}$。

2. 若()$\cdot 2a^{2}b = 4a^{3}b^{2}$,则“( )”内应填的单项式是( )
A.$a$
B.$2a$
C.$2ab$
D.$2ab^{2}$

C

设所求单项式为$x$，则$x \cdot 2a^{2}b = 4a^{3}b^{2}$，所以$x = 4a^{3}b^{2} ÷ 2a^{2}b = 2ab$

3. 下列运算正确的是()

A.$x^{2}+x^{2}= x^{4}$
B.$3a^{3}\cdot 2a^{2}= 6a^{6}$
C.$2x^{4}\cdot (-3x^{4})= 6x^{8}$
D.$(-a^{2})^{3}= -a^{6}$

D

A. $x^{2} + x^{2} = 2x^{2}$，而不是 $x^{4}$，所以错误；
B. $3a^{3} \cdot 2a^{2} = 6a^{3+2} = 6a^{5}$，而不是 $6a^{6}$，所以错误；
C. $2x^{4} \cdot (-3x^{4}) = -6x^{4+4} = -6x^{8}$，而不是 $6x^{8}$，所以错误；
D. $(-a^{2})^{3} = -a^{2 × 3} = -a^{6}$，正确。

4. 下列四个算式：①$2a^{3}-a^{3}= 2$；②$(-xy^{2})\cdot (-3x^{3}y)= 3x^{4}y^{3}$；③$(x^{3})^{3}\cdot x = x^{10}$；④$2a^{2}b^{3}\cdot 2a^{2}b^{3}= 4a^{2}b^{3}$,其中正确的有()
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

B

① 对于 $2a^{3} - a^{3}$，
根据同类项合并，结果应为 $a^{3}$，与给出的 $2$ 不符，所以①错误。
② 对于 $(-xy^{2}) \cdot (-3x^{3}y)$，
根据单项式乘单项式的法则，系数相乘得 $3$，字母部分 $x \cdot x^{3} = x^{4}$，$y^{2} \cdot y = y^{3}$，所以结果为 $3x^{4}y^{3}$，与题目给出的相符，所以②正确。
③ 对于 $(x^{3})^{3} \cdot x$，
根据幂的乘方，$(x^{3})^{3} = x^{9}$，再与 $x$ 相乘得 $x^{9} \cdot x = x^{10}$，与题目给出的相符，所以③正确。
④ 对于 $2a^{2}b^{3} \cdot 2a^{2}b^{3}$，
根据单项式乘单项式的法则，系数相乘得 $4$，字母部分 $a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}$，$b^{3} \cdot b^{3} = b^{6}$，所以结果应为 $4a^{4}b^{6}$，与给出的 $4a^{2}b^{3}$ 不符，所以④错误。
综上，只有②和③两个算式是正确的。

5. 长方形的长为 $3x^{2}y$,宽为 $2xy$,则它的面积为()
A.$5x^{3}y$
B.$6x^{3}y$
C.$5x^{3}y^{2}$
D.$6x^{3}y^{2}$

D

长方形的面积公式为长乘以宽，即 $3x^{2}y × 2xy$。
计算时，先乘系数：$3 × 2 = 6$。
再乘变量部分：$x^{2} \cdot x = x^{3}$，$y \cdot y = y^{2}$。
因此，面积为 $6x^{3}y^{2}$。

6. 若单项式$-8x^{a}y和\frac{1}{4}x^{2}y^{b}的积为-2x^{5}y^{6}$,则 $ab$ 的值为()
A.$2$
B.$30$
C.$-15$
D.$15$

D

$-8x^{a}y \cdot \frac{1}{4}x^{2}y^{b} = (-8 × \frac{1}{4})x^{a+2}y^{1+b} = -2x^{a+2}y^{b+1}$，
由题意得$-2x^{a+2}y^{b+1} = -2x^{5}y^{6}$，
则$\begin{cases} a+2=5 \\ b+1=6 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=3 \\ b=5 \end{cases}$，
$\therefore ab=3 × 5=15$。

7. 单项式与单项式相乘,把它们的、分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的作为积的一个。

系数；同底数幂；指数；因式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

8. 计算：
(1) $6xy^{2}\cdot (-\frac{1}{2}x^{3}y^{3})=$；
(2) $(2c^{3})\cdot (-\frac{1}{4}abc^{2})(-2ac)=$。

(1) $-3x^{4}y^{5}$
(2) $a^{2}bc^{6}$

(1) 根据单项式乘法的规则，系数相乘，同底数幂相乘：
$6xy^{2} \cdot \left( -\frac{1}{2}x^{3}y^{3} \right) = 6 × \left( -\frac{1}{2} \right) × x × x^{3} × y^{2} × y^{3} = -3x^{4}y^{5}$
(2) 同样根据单项式乘法的规则，系数相乘，同底数幂相乘：
$\left( 2c^{3} \right) \cdot \left( -\frac{1}{4}abc^{2} \right) \cdot (-2ac) = 2 × \left( -\frac{1}{4} \right) × (-2) × a × a × b × c^{3} × c^{2} × c = a^{2}bc^{6}$

9. 计算：
(1) $3x^{2}y\cdot (-2xy^{2})$；
(2) $4x^{2}y\cdot (-xy^{2})^{3}$。

(1)
解：
$3x^{2}y\cdot (-2xy^{2})$
$=3×(-2)\cdot x^{2}\cdot x\cdot y\cdot y^{2}$
$=-6x^{3}y^{3}$
(2)
解：
首先计算$(-xy^{2})^{3}$
$(-xy^{2})^{3}=(-1)^{3}\cdot x^{3}\cdot (y^{2})^{3}=-x^{3}y^{6}$
然后计算$4x^{2}y\cdot (-x^{3}y^{6})$
$4x^{2}y\cdot (-x^{3}y^{6})$
$=4×(-1)\cdot x^{2}\cdot x^{3}\cdot y\cdot y^{6}$
$=-4x^{5}y^{7}$