例4 如图13.2 - 4,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB = 6cm,AC = 8cm,BC = 10cm,∠CAB = 90°。试求：

(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差。

(1) $\because \angle CAB=90^{\circ}$，$AB=6\,cm$，$AC=8\,cm$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24\,cm^2$。
又$\because AD$是$\triangle ABC$的高，$BC=10\,cm$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，即$\frac{1}{2}×10× AD=24$，
解得$AD=4.8\,cm$。
(2) $\because AE$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5\,cm$。
$\therefore S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}BE· AD=\frac{1}{2}×5×4.8=12\,cm^2$。
(3) $\because AE$是中线，$\therefore BE=CE$。
$\triangle ACE$的周长为$AC+CE+AE$，$\triangle ABE$的周长为$AB+BE+AE$，
$\therefore \triangle ACE$和$\triangle ABE$的周长差为：
$(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2\,cm$。

1. 如图13.2 - 5,在△ABC中,∠1 = ∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上的一点,CF⊥AD于点H。下列判断正确的是()

A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD的边AD上的中线
C.AH为△ABC的角平分线
D.CH为△ACD的边AD上的高

D

选项A：AD是∠BAC的平分线，但△ABE的边为AB、BE、AE，D不在△ABE的边上，故AD不是△ABE的角平分线，A错误；选项B：△ABD中AD边上的中线应为BG（G为AD中点），BE不是，B错误；选项C：△ABC的角平分线是AD（∠1=∠2），AH是AD上的线段，不是角平分线，C错误；选项D：CH⊥AD于H，由高的定义，CH是△ACD边AD上的高，D正确。

2. AD,AE,AF分别是△ABC的高、角平分线和中线,则下列说法中,错误的是()
A.BF = CF
B.∠ACB + ∠CAE = 90°
C.AD≤AE
D.$S_{\triangle ABC}= 2S_{\triangle ABF}$

B

A.∵AF是中线，∴BF=CF，正确；B.∵AD是高，∴∠ACB+∠CAD=90°，AE是角平分线，∠CAE=1/2∠BAC，一般情况下∠CAE≠∠CAD，故∠ACB+∠CAE≠90°，错误；C.AD是高（垂线段），AE是角平分线，垂线段最短，∴AD≤AE，正确；D.∵AF是中线，∴S△ABF=S△AFC=1/2S△ABC，∴S△ABC=2S△ABF，正确。