三、解答题
11. 求下列抛物线对应的函数表达式：
(1)顶点坐标为$(4,-1)$，与$y$轴交于点$(0,3)$；
(2)顶点在原点，且过点$(1,-1)$；
(3)对称轴为直线$x=2$，且过点$(0,0)$、$(-2,3)$；
(4)过点$(-3,0)$、$(1,0)$、$(2,-5)$。

11. (1) $y=\dfrac{1}{4}x^2-2x+3$
(2) $y=-x^2$
(3) $y=\dfrac{1}{4}x^2-x$
(4) $y=-x^2-2x+3$

12. 已知二次函数的图像经过点$(2,-3)$，其对称轴为$x=1$，且该图像与$x$轴两交点的距离为4，求这个二次函数的表达式.

$y=x^2-2x-3$

13. 已知抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 与 $ y $ 轴交于点 $ (0,3a) $，对称轴为直线 $ x=1 $。
(1)试用含 $ a $ 的代数式表示 $ b $、$ c $；
(2)当抛物线与直线 $ y=x-1 $ 交于点 $ (2,1) $时，求此抛物线的表达式；
(3)求当 $ b(c+6) $ 取得最大值时的抛物线的顶点坐标。

(1) $\because$ 抛物线与 $y$ 轴交于点 $(0,3a),\therefore c=3a$。
$\because$ 对称轴为直线 $x=1$。
$\therefore x=-\dfrac{b}{2a}=1$，
$\therefore b=-2a$。
(2) $\because$ 抛物线与直线 $y=x-1$ 交于点 $(2,1)$，
$\therefore (2,1)$ 在抛物线上，
$\therefore 1=a× 2^2+2(-2a)+3a$，
$\therefore a=\dfrac{1}{3}$。
$\therefore b=-2a=-\dfrac{2}{3},c=3a=1$，
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x+1$。
(3) $\because b(c+6)=-2a(3a+6)=-6a^2-12a=-6(a+1)^2+6$。
当 $a=-1$ 时，$b(c+6)$ 的最大值为 6。
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2$，
故抛物线的顶点坐标为 $(1,-2)$。