1. 如图3-1-6,在$△ ABC$中,点D,E分别在AB,AC边上,$DE // BC$.若$AD = 2$,$BD = 3$,则$AE:AC =$ ;若$AE:CE = 3:5$,$AB = 16$,则$AD =$ ;若$AE:CE = 2:3$,$BD - AD = 3$,则$AD =$ .

1. 2:5，6，6.

【分析】
已知$DE// BC$，可直接运用平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，得到$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$、$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$这两个核心比例关系。解题时结合每个小问的已知条件，代入对应比例式计算即可：第一问先求总线段AB的长度，再求比值；第二问根据线段比推导AD和AB的关系求解；第三问可设参数结合线段差的条件求解。
【解析】
因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$。
1. 求$AE:AC$：
已知$AD=2$，$BD=3$，则$AB=AD+BD=2+3=5$，
因此$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，即$AE:AC=2:5$。
2. 当$AE:CE=3:5$，$AB=16$时求$AD$：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AE+CE}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$，
代入$AB=16$得：$AD=\frac{3}{8}×16=6$。
3. 当$AE:CE=2:3$，$BD-AD=3$时求$AD$：
由$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}=\frac{2}{3}$，设$AD=2k$，$BD=3k$（$k＞0$），
代入$BD-AD=3$得：$3k-2k=k=3$，
因此$AD=2k=2×3=6$。
【答案】
$2:5$；$6$；$6$
【知识点】
平行线分线段成比例推论；比例的计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是找准平行线截三角形两边所得的对应线段，正确列比例式计算，设参数的方法能有效简化比例类问题的计算过程。
【难度系数】
0.75

2.如图3-1-7，直线$l_1 // l_2 // l_3$，直线$l_1$，$l_2$，$l_3$与另外两条直线分别交于点A，B，C及点D，E，F，如果$AB = 3$，$DE = 4$，$EF = 2$，那么
①$BC : AB =$ ；
②$AB : AC =$ ；
③$BC · DE =$ ；
④$BC · EF =$ 。


图3-1-7
图3-1-8

2. ① 1:2；② 2:3；③ 6；④ 3.

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的三条平行直线截两条直线的条件，联想到平行线分线段成比例定理，得到对应线段的比例关系$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，代入已知线段长度先求出BC的长度；再分别根据四个小问的要求，结合线段和差、比例运算、乘法运算逐一计算结果即可。
【解析】
解：
∵$l_1 // l_2 // l_3$
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$AB=3$，$DE=4$，$EF=2$代入上式：
$\frac{3}{BC}=\frac{4}{2}$，解得$BC=\frac{3×2}{4}=1.5$
① $BC:AB=1.5:3=1:2$
② $AC=AB+BC=3+1.5=4.5$，则$AB:AC=3:4.5=2:3$
③ $BC· DE=1.5×4=6$
④ $BC· EF=1.5×2=3$
【答案】
① $1:2$；② $2:3$；③ $6$；④ $3$
【知识点】
平行线分线段成比例；比例运算；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的关键是准确找到对应线段的比例关系，计算过程简单，只要掌握定理内容即可正确解答。
【难度系数】
0.8

3.如图 3-1-8,在 $△ ABC$ 中,点 D 为 AC上一点,且 $\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$,过点 D 作 $DE // BC$ 交AB 于点 E,连结 CE,过点 D 作 $DF // CE$ 交AB 于点 F.若 $AB = 18$,则 $EF =$ .

3. 4.

【分析】
解题时首先观察到题目中有两组平行于三角形边的直线，优先运用平行线分三角形两边成比例的定理解题。第一步先根据已知的CD与AD的比例，求出AD与AC的比值；再结合DE//BC的条件，算出AE的长度；最后利用DF//CE的条件算出AF的长度，用AE减去AF即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵ $\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AD}{AD+CD}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
∵ $DE// BC$，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，
又
∵ $AB=18$，
∴ $AE=\frac{2}{3}×18=12$。
∵ $DF// CE$，同理可得：
$\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴ $AF=\frac{2}{3}×12=8$，
∴ $EF=AE-AF=12-8=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 平行线分线段成比例；2. 比例运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是找准平行线对应的成比例线段，逐步推导计算即可得到结果，有助于巩固对平行线分线段成比例相关性质的理解。
【难度系数】
0.7

4. 如图 3-1-9，$AB // CD // EF$，$AF$ 与 $BE$ 相交于点 $O$，则下列结论错误的有【 】
① $\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{BC}{CE}$；
② $\dfrac{AO}{DO} = \dfrac{BO}{CO}$；
③ $\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{DF}{AF}$；
④ $\dfrac{CE}{EF} = \dfrac{AD}{AB}$；
⑤ $\dfrac{BC}{BE} = \dfrac{AD}{AF}$；
⑥ $\dfrac{AF}{FO} = \dfrac{BE}{EO}$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

图 3-1-9

4. A.

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理及推论的应用，解题思路为：首先明确三条平行线AB、CD、EF截的两条直线是AF和BE，结合平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）、平行于三角形一边的直线截两边的比例推论，再配合比例的合比性质，逐个判断6个结论的正误，统计错误结论的个数即可得到答案。
【解析】
根据平行线分线段成比例相关性质逐一分析：
1. 分析①：$\because AB// CD// EF$，截直线AF、BE，对应线段成比例，$\therefore \dfrac{AD}{DF}=\dfrac{BC}{CE}$，①正确；
2. 分析②：$\because AB// CD$，根据平行于三角形一边的直线截两边的比例推论，可得$\dfrac{AO}{DO}=\dfrac{BO}{CO}$，②正确；
3. 分析③：由$\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{DF}{AD}$，根据合比性质可得$\dfrac{CE}{BC+CE}=\dfrac{DF}{AD+DF}$，即$\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{DF}{AF}$，③正确；
4. 分析④：CE是直线BE上的截线段，EF是平行线本身的线段，AD是直线AF上的截线段，AB是平行线本身的线段，四者无对应成比例的依据，$\dfrac{CE}{EF}=\dfrac{AD}{AB}$不成立，④错误；
5. 分析⑤：由$\dfrac{BC}{CE}=\dfrac{AD}{DF}$，根据合比性质可得$\dfrac{BC}{BC+CE}=\dfrac{AD}{AD+DF}$，即$\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{AD}{AF}$，⑤正确；
6. 分析⑥：$\because AB// EF$，$\therefore \dfrac{AO}{OF}=\dfrac{BO}{OE}$，根据合比性质可得$\dfrac{AO+OF}{OF}=\dfrac{BO+OE}{OE}$，即$\dfrac{AF}{FO}=\dfrac{BE}{EO}$，⑥正确。
综上，仅④1个结论错误。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质
【点评】
本题解题核心是找准被平行线所截的两条直线上的对应线段，注意区分截线上的线段和平行线本身的线段，避免混淆对应关系即可准确判断结论正误。
【难度系数】
0.7

5.如图3-1-10,在$□ ABCD$中,E是AD边上一点,连结CE并延长交BA的延长线于点F,则下列结论错误的有 …………【 】
① $\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{CE}$；
② $\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{CE}$；
③ $\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{BC}$；
④ $\frac{AF}{BF}=\frac{EF}{CF}$。

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

图3-1-10

5. B.

【分析】
本题需结合平行四边形性质和相似三角形的性质解题：第一步先利用平行四边形对边平行的性质，找到两组相似三角形；第二步结合相似三角形对应边成比例的性质，逐一验证四个结论是否成立，统计错误结论的个数即可选出正确选项。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，BC=AD。
① 由AB//CD可得△FAE∽△CDE，对应边成比例得$\frac{AF}{CD}=\frac{EF}{CE}$，又CD=AB，代入得$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{CE}$，故①正确；
② 由△FAE∽△CDE，直接可得对应边比例$\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{CE}$，故②正确；
③ 由△FAE∽△CDE得$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{DE}$，而BC=AD≠DE，因此$\frac{AE}{DE}≠\frac{AE}{BC}$，即$\frac{AF}{CD}≠\frac{AE}{BC}$，故③错误；
④ 由AD//BC可得△FAE∽△FBC，对应边成比例得$\frac{AF}{BF}=\frac{EF}{CF}$，故④正确。
综上，错误的结论仅1个，应选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是通过平行四边形的平行性质得到相似三角形，再利用相似三角形的边比例关系逐一验证结论，解题时注意平行四边形对边相等的等量代换即可。
【难度系数】
0.7