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3. 如图，D，E分别是$△ ABC$的边AB，BC上的点，且$DE// AC$，AE，CD相交于点O。若$S_{△ DOE}: S_{△ COA}=1:25$，则$S_{△ BDE}$与$S_{△ CDE}$的比是(
A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:5$
D.$1:25$
B
)。A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:5$
D.$1:25$
答案
3. B
解析
【分析】
首先由DE//AC可推出△DOE与△COA相似，结合二者面积比求出相似比，得到DE与AC的比值；再由DE//AC推出△BDE与△BAC相似，得到BE与BC的比值，进而求出BE与EC的比值；最后根据△BDE和△CDE同高，面积比等于底边长的比，即可得到结果。
【解析】
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE=∠ OCA$，$∠ OED=∠ OAC$，
∴ $△ DOE ∽ △ COA$。
∵ $S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ 相似比 $DE:AC=\sqrt{\frac{1}{25}}=1:5$。
又
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ BDE=∠ BAC$，$∠ BED=∠ BCA$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$，
∴ $BE:BC=DE:AC=1:5$，
∴ $BE:EC=1:(5-1)=1:4$。
△BDE和△CDE以BE、EC为底时，高均为点D到BC的距离，即高相等，
∴ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:EC=1:4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，需要灵活运用相似三角形的性质得到线段比例，再结合同高三角形面积与底边的关系求解，能较好地考查对相似相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先由DE//AC可推出△DOE与△COA相似，结合二者面积比求出相似比，得到DE与AC的比值；再由DE//AC推出△BDE与△BAC相似，得到BE与BC的比值，进而求出BE与EC的比值；最后根据△BDE和△CDE同高，面积比等于底边长的比，即可得到结果。
【解析】
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ ODE=∠ OCA$，$∠ OED=∠ OAC$，
∴ $△ DOE ∽ △ COA$。
∵ $S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:25$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ 相似比 $DE:AC=\sqrt{\frac{1}{25}}=1:5$。
又
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ BDE=∠ BAC$，$∠ BED=∠ BCA$，
∴ $△ BDE ∽ △ BAC$，
∴ $BE:BC=DE:AC=1:5$，
∴ $BE:EC=1:(5-1)=1:4$。
△BDE和△CDE以BE、EC为底时，高均为点D到BC的距离，即高相等，
∴ $S_{△ BDE}:S_{△ CDE}=BE:EC=1:4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，需要灵活运用相似三角形的性质得到线段比例，再结合同高三角形面积与底边的关系求解，能较好地考查对相似相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-3,6)$,$B(-9,-3)$,以原点$O$为位似中心画一个三角形,使它与$△ ABO$位似,且相似比为$\frac{1}{3}$,则点$A$的对应点$A'$的坐标是(
A.$(-1,2)$
B.$(-9,18)$
C.$(-9,18)$或$(9,-18)$
D.$(-1,2)$或$(1,-2)$
D
)。A.$(-1,2)$
B.$(-9,18)$
C.$(-9,18)$或$(9,-18)$
D.$(-1,2)$或$(1,-2)$
答案
4. D
解析
【分析】
首先明确本题考查原点为位似中心的位似变换坐标求解，解题思路如下：第一步回忆位似变换的坐标规律：以原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标比等于相似比k或-k，因为位似图形既可以和原图形在位似中心同侧，也可以在异侧，两种情况都要考虑；第二步代入点A的坐标和相似比$\frac{1}{3}$，分别计算两种情况的对应点坐标，最后匹配选项得出答案。
【解析】
解：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k的两个位似图形，对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k。
本题中相似比为$\frac{1}{3}$，点A的坐标为$(-3,6)$，分两种情况计算：
① 若位似图形与$△ ABO$在原点同侧，则$A'$的坐标为$(-3×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})$，即$(-1,2)$；
② 若位似图形与$△ ABO$在原点异侧，则$A'$的坐标为$(-3×(-\frac{1}{3}),6×(-\frac{1}{3}))$，即$(1,-2)$。
综上，点A的对应点$A'$的坐标是$(-1,2)$或$(1,-2)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似的坐标变换，位似的性质
【点评】
本题核心考查位似变换的坐标规律，易错点是容易忽略位似图形存在在位似中心同侧、异侧两种位置，从而漏解其中一种坐标结果。
【难度系数】
0.7
首先明确本题考查原点为位似中心的位似变换坐标求解，解题思路如下：第一步回忆位似变换的坐标规律：以原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标比等于相似比k或-k，因为位似图形既可以和原图形在位似中心同侧，也可以在异侧，两种情况都要考虑；第二步代入点A的坐标和相似比$\frac{1}{3}$，分别计算两种情况的对应点坐标，最后匹配选项得出答案。
【解析】
解：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k的两个位似图形，对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k。
本题中相似比为$\frac{1}{3}$，点A的坐标为$(-3,6)$，分两种情况计算：
① 若位似图形与$△ ABO$在原点同侧，则$A'$的坐标为$(-3×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})$，即$(-1,2)$；
② 若位似图形与$△ ABO$在原点异侧，则$A'$的坐标为$(-3×(-\frac{1}{3}),6×(-\frac{1}{3}))$，即$(1,-2)$。
综上，点A的对应点$A'$的坐标是$(-1,2)$或$(1,-2)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似的坐标变换，位似的性质
【点评】
本题核心考查位似变换的坐标规律，易错点是容易忽略位似图形存在在位似中心同侧、异侧两种位置，从而漏解其中一种坐标结果。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在一块斜边长为30 cm 的直角三角形(Rt△ACB)木板上截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上。若AF:AC =1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为(
A.100 cm²
B.150 cm²
C.170 cm²
D.200 cm²
A
)。A.100 cm²
B.150 cm²
C.170 cm²
D.200 cm²
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先根据已知的线段比例关系设参数，再结合正方形的性质得到各相关线段的表达式，接着利用平行线判定三角形相似，通过相似三角形的性质得到另一条直角边的表达式，最后结合勾股定理求出参数的平方值，再分别计算大直角三角形和正方形的面积，作差即可得到剩余部分的面积。
【解析】
设$AF=x$，由$AF:AC=1:3$可得$AC=3x$，则$FC=AC-AF=2x$。
∵四边形$CDEF$是正方形，
∴$EF=FC=2x$，且$EF// BC$，
∴$△ AEF ∽ △ ABC$，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴$BC=3EF=6x$。
在$Rt△ ACB$中，斜边$AB=30\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入得$(3x)^2+(6x)^2=30^2$，
整理得$9x^2+36x^2=900$，即$45x^2=900$，解得$x^2=20$。
剩余部分的面积 = $S_{△ ABC} - S_{\mathrm{正方形}CDEF}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC - (FC)^2$
$=\frac{1}{2}×3x×6x - (2x)^2$
$=9x^2 - 4x^2=5x^2$，
将$x^2=20$代入得$5×20=100(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合计算题，通过设参数将比例关系转化为线段长度表达式，结合相似性质和勾股定理求解，避免直接求参数值，简化了计算过程，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的线段比例关系设参数，再结合正方形的性质得到各相关线段的表达式，接着利用平行线判定三角形相似，通过相似三角形的性质得到另一条直角边的表达式，最后结合勾股定理求出参数的平方值，再分别计算大直角三角形和正方形的面积，作差即可得到剩余部分的面积。
【解析】
设$AF=x$，由$AF:AC=1:3$可得$AC=3x$，则$FC=AC-AF=2x$。
∵四边形$CDEF$是正方形，
∴$EF=FC=2x$，且$EF// BC$，
∴$△ AEF ∽ △ ABC$，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴$BC=3EF=6x$。
在$Rt△ ACB$中，斜边$AB=30\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入得$(3x)^2+(6x)^2=30^2$，
整理得$9x^2+36x^2=900$，即$45x^2=900$，解得$x^2=20$。
剩余部分的面积 = $S_{△ ABC} - S_{\mathrm{正方形}CDEF}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC - (FC)^2$
$=\frac{1}{2}×3x×6x - (2x)^2$
$=9x^2 - 4x^2=5x^2$，
将$x^2=20$代入得$5×20=100(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合计算题，通过设参数将比例关系转化为线段长度表达式，结合相似性质和勾股定理求解，避免直接求参数值，简化了计算过程，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6. (2025·宜宾中考)如图,一张锐角三角形纸片$ABC$,点$D$,$E$分别在边$AB$,$AC$上,$AD=2DB$,沿$DE$将$△ ABC$剪成面积相等的两部分,则$\frac{AE}{EC}$的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6. C 【解析】
如图,过点 D 作 $DF // BC$ 交 $AC$ 于点 $F$。$\because AD = 2DB,\therefore \frac{AD}{BD}=2,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$。$\because DF// BC,\therefore △ AFD ∽ △ ACB$。 $\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3},\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}$。 设 $S_{△ AFD}=4S,S_{△ ACB}=9S$。 $\because$ 沿 $DE$ 将 $△ ABC$ 剪成面积相等的两部分, $\therefore S_{△ ADE}=\frac{9}{2}S,\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ADE}}=\frac{4S}{\frac{9}{2}S}=\frac{8}{9}=\frac{AF}{AE},\therefore \frac{AC}{AE}=\frac{AF}{AE}÷ \frac{AF}{AC}=\frac{AF}{AE}· \frac{AC}{AF}=\frac{8}{9}× \frac{3}{2}=\frac{4}{3},\therefore \frac{AE}{EC}=3$
解析
【分析】
首先从已知条件出发，已知$AD:DB=2:1$，且$DE$分割$△ ABC$得到的两部分面积相等，即$△ ADE$的面积是$△ ABC$面积的一半。要找线段比值，我们可以先构造平行线得到相似三角形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出与$△ ABC$相似的$△ ADF$的面积占比；再利用$△ ADF$和$△ ADE$同高，面积比等于底边$AF$和$AE$的比，结合已知的面积关系推导$AE$和$AC$的比例，最后就能算出$\frac{AE}{EC}$的比值。
【解析】
如图，过点$D$作 $DF // BC$ 交 $AC$ 于点$F$。
$\because AD = 2DB$，$\therefore \frac{AD}{BD}=2$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$。
$\because DF// BC$，$\therefore △ AFD ∽ △ ACB$。
$\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，$\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}$。
设 $S_{△ AFD}=4S$，$S_{△ ACB}=9S$。
$\because$ 沿 $DE$ 将 $△ ABC$ 剪成面积相等的两部分，$\therefore S_{△ ADE}=\frac{9}{2}S$。
$\because △ AFD$和$△ ADE$同高（均为点$D$到$AC$的距离），$\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ADE}}=\frac{AF}{AE}=\frac{4S}{\frac{9}{2}S}=\frac{8}{9}$。
将$AF=\frac{2}{3}AC$代入得：$\frac{\frac{2}{3}AC}{AE}=\frac{8}{9}$，解得$\frac{AC}{AE}=\frac{4}{3}$，即$AE=\frac{3}{4}AC$。
$\therefore EC=AC-AE=AC-\frac{3}{4}AC=\frac{1}{4}AC$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{4}AC}{\frac{1}{4}AC}=3$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积与线段关系，比例运算
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，将相似三角形的性质与三角形面积计算结合考查，解题的突破口是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用“相似三角形面积比为相似比的平方”“同高三角形面积比等于底边长的比”两个结论即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件出发，已知$AD:DB=2:1$，且$DE$分割$△ ABC$得到的两部分面积相等，即$△ ADE$的面积是$△ ABC$面积的一半。要找线段比值，我们可以先构造平行线得到相似三角形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出与$△ ABC$相似的$△ ADF$的面积占比；再利用$△ ADF$和$△ ADE$同高，面积比等于底边$AF$和$AE$的比，结合已知的面积关系推导$AE$和$AC$的比例，最后就能算出$\frac{AE}{EC}$的比值。
【解析】
如图，过点$D$作 $DF // BC$ 交 $AC$ 于点$F$。
$\because AD = 2DB$，$\therefore \frac{AD}{BD}=2$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$。
$\because DF// BC$，$\therefore △ AFD ∽ △ ACB$。
$\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，$\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}$。
设 $S_{△ AFD}=4S$，$S_{△ ACB}=9S$。
$\because$ 沿 $DE$ 将 $△ ABC$ 剪成面积相等的两部分，$\therefore S_{△ ADE}=\frac{9}{2}S$。
$\because △ AFD$和$△ ADE$同高（均为点$D$到$AC$的距离），$\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ADE}}=\frac{AF}{AE}=\frac{4S}{\frac{9}{2}S}=\frac{8}{9}$。
将$AF=\frac{2}{3}AC$代入得：$\frac{\frac{2}{3}AC}{AE}=\frac{8}{9}$，解得$\frac{AC}{AE}=\frac{4}{3}$，即$AE=\frac{3}{4}AC$。
$\therefore EC=AC-AE=AC-\frac{3}{4}AC=\frac{1}{4}AC$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{4}AC}{\frac{1}{4}AC}=3$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积与线段关系，比例运算
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，将相似三角形的性质与三角形面积计算结合考查，解题的突破口是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用“相似三角形面积比为相似比的平方”“同高三角形面积比等于底边长的比”两个结论即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
7. (2025·黑龙江中考)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=7$,$BC=9$,$M$是$△ ABC$内部一点,连接$AM$,$BM$,$CM$。若$CM=3$,则$AM+\frac{1}{3}BM$的最小值为
$5\sqrt{2}$
。答案
7. $5\sqrt{2}$ 【解析】
如图,在 $BC$ 上取点 $G$,使 $CG = 1$。 $\because BC = 9,CM = 3,\therefore \frac{CG}{CM}=\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}$。$\because ∠ MCG = ∠ MCB,\therefore △ MCG ∽ △ BCM$。 $\therefore \frac{MG}{BM}=\frac{CG}{CM}=\frac{1}{3}$,
$\therefore MG=\frac{1}{3}BM$。 $\therefore AM + \frac{1}{3}BM = AM + MG ≥ AG$,
$\because AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2},\therefore AM + \frac{1}{3}BM≥ 5\sqrt{2}$,即当 $M$ 在 $AG$ 上时, $AM + \frac{1}{3}BM$ 有最小值,为 $5\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于带系数线段和的最值问题，解题核心是通过构造相似三角形把带系数的$\frac{1}{3}BM$转化为普通线段，再利用两点之间线段最短求解。首先观察已知条件：$CM=3$，$BC=9$，二者比值刚好是$\frac{1}{3}$，和所求式中$BM$的系数一致，因此我们可以在$BC$上取点$G$，使得$\frac{CG}{CM}=\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}$，构造共角相似三角形，把$\frac{1}{3}BM$转化为$MG$，此时$AM+\frac{1}{3}BM$就转化为$AM+MG$，其最小值就是点$A$到点$G$的线段长，最后结合直角三角形勾股定理计算$AG$即可。
【解析】
解：如图，在$BC$上取点$G$，使$CG = 1$。
$\because BC = 9,CM = 3$，
$\therefore \frac{CG}{CM}=\frac{1}{3}$，$\frac{CM}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，即$\frac{CG}{CM}=\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}$。
又$\because ∠MCG = ∠BCM$（公共角），
$\therefore △MCG ∽ △BCM$。
$\therefore \frac{MG}{BM}=\frac{CG}{CM}=\frac{1}{3}$，即$MG=\frac{1}{3}BM$。
$\therefore AM + \frac{1}{3}BM = AM + MG$。
根据两点之间线段最短，可得$AM + MG ≥ AG$，即当$A$、$M$、$G$三点共线时，$AM+\frac{1}{3}BM$取得最小值，最小值为$AG$的长度。
$\because ∠ACB=90°$，$AC=7$，$CG=1$，
$\therefore AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是典型的加权线段和最值问题，解题的关键是通过构造相似三角形完成带系数线段的转化，将陌生的最值问题转化为熟悉的两点距离问题，体现了转化思想在几何解题中的应用，对学生的几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题属于带系数线段和的最值问题，解题核心是通过构造相似三角形把带系数的$\frac{1}{3}BM$转化为普通线段，再利用两点之间线段最短求解。首先观察已知条件：$CM=3$，$BC=9$，二者比值刚好是$\frac{1}{3}$，和所求式中$BM$的系数一致，因此我们可以在$BC$上取点$G$，使得$\frac{CG}{CM}=\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}$，构造共角相似三角形，把$\frac{1}{3}BM$转化为$MG$，此时$AM+\frac{1}{3}BM$就转化为$AM+MG$，其最小值就是点$A$到点$G$的线段长，最后结合直角三角形勾股定理计算$AG$即可。
【解析】
解：如图，在$BC$上取点$G$，使$CG = 1$。
$\because BC = 9,CM = 3$，
$\therefore \frac{CG}{CM}=\frac{1}{3}$，$\frac{CM}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，即$\frac{CG}{CM}=\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}$。
又$\because ∠MCG = ∠BCM$（公共角），
$\therefore △MCG ∽ △BCM$。
$\therefore \frac{MG}{BM}=\frac{CG}{CM}=\frac{1}{3}$，即$MG=\frac{1}{3}BM$。
$\therefore AM + \frac{1}{3}BM = AM + MG$。
根据两点之间线段最短，可得$AM + MG ≥ AG$，即当$A$、$M$、$G$三点共线时，$AM+\frac{1}{3}BM$取得最小值，最小值为$AG$的长度。
$\because ∠ACB=90°$，$AC=7$，$CG=1$，
$\therefore AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是典型的加权线段和最值问题，解题的关键是通过构造相似三角形完成带系数线段的转化，将陌生的最值问题转化为熟悉的两点距离问题，体现了转化思想在几何解题中的应用，对学生的几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
