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8. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在直线AC上,连接BD,将DB绕点D按逆时针方向旋转120°,得到DE,连接BE,CE。
(1)求证:BC=√3 AB;
(2)当点D在AC上(点D不与点A,C重合)时,求$\frac{CE}{AD}$的值。
(1)求证:BC=√3 AB;
(2)当点D在AC上(点D不与点A,C重合)时,求$\frac{CE}{AD}$的值。
答案
(1)略
(2) $\frac{CE}{AD}$的值为$\sqrt{3}$ 提示:易得$△ CBE ∽ △ ABD$。
$\therefore \frac{CE}{AD}=\frac{BC}{AB}$。 $\because \frac{BC}{AB}=\sqrt{3},\therefore \frac{CE}{AD}=\sqrt{3}$
(2) $\frac{CE}{AD}$的值为$\sqrt{3}$ 提示:易得$△ CBE ∽ △ ABD$。
$\therefore \frac{CE}{AD}=\frac{BC}{AB}$。 $\because \frac{BC}{AB}=\sqrt{3},\therefore \frac{CE}{AD}=\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明$BC=\sqrt{3} AB$，已知$△ ABC$是顶角为$120°$的等腰三角形，可通过作底边上的高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质和特殊角的三角函数值计算即可完成证明。
(2) 要求$\frac{CE}{AD}$的值，先结合旋转的性质得出$△ BDE$也是顶角为$120°$的等腰三角形，可得$\frac{BE}{BD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$；再通过角的和差关系推出$∠ ABD=∠ CBE$，即可证明$△ ABD ∽ △ CBE$，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，结合第一问的结论即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：过点$A$作$AH ⊥ BC$于点$H$。
∵$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴$∠ BAH=\frac{1}{2}∠ BAC=60°$，$BH=CH=\frac{1}{2}BC$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ ABH$中，$\sin∠ BAH=\frac{BH}{AB}$，即$\sin60°=\frac{BH}{AB}$，
∴$BH=AB·\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=2BH=\sqrt{3}AB$，得证。
(2) 解：由旋转的性质可知，$BD=DE$，$∠ BDE=120°$，
∴$△ BDE$是顶角为$120°$的等腰三角形，同(1)的结论可得$BE=\sqrt{3}BD$，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$。
∵等腰$△ ABC$中，$∠ ABC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，等腰$△ BDE$中，$∠ DBE=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴$∠ ABC=∠ DBE$，
∴$∠ ABC - ∠ DBC = ∠ DBE - ∠ DBC$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ CBE$中，
$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$∠ ABD=∠ CBE$，
∴$△ ABD ∽ △ CBE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题属于几何综合题，第一问考查等腰三角形和特殊直角三角形的边角关系，是基础的几何计算；第二问需要结合旋转性质挖掘边角关系，借助相似三角形求解，解题时注意利用前一问的结论，可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明$BC=\sqrt{3} AB$，已知$△ ABC$是顶角为$120°$的等腰三角形，可通过作底边上的高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质和特殊角的三角函数值计算即可完成证明。
(2) 要求$\frac{CE}{AD}$的值，先结合旋转的性质得出$△ BDE$也是顶角为$120°$的等腰三角形，可得$\frac{BE}{BD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$；再通过角的和差关系推出$∠ ABD=∠ CBE$，即可证明$△ ABD ∽ △ CBE$，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，结合第一问的结论即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：过点$A$作$AH ⊥ BC$于点$H$。
∵$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴$∠ BAH=\frac{1}{2}∠ BAC=60°$，$BH=CH=\frac{1}{2}BC$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ ABH$中，$\sin∠ BAH=\frac{BH}{AB}$，即$\sin60°=\frac{BH}{AB}$，
∴$BH=AB·\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=2BH=\sqrt{3}AB$，得证。
(2) 解：由旋转的性质可知，$BD=DE$，$∠ BDE=120°$，
∴$△ BDE$是顶角为$120°$的等腰三角形，同(1)的结论可得$BE=\sqrt{3}BD$，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$。
∵等腰$△ ABC$中，$∠ ABC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，等腰$△ BDE$中，$∠ DBE=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴$∠ ABC=∠ DBE$，
∴$∠ ABC - ∠ DBC = ∠ DBE - ∠ DBC$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ CBE$中，
$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$∠ ABD=∠ CBE$，
∴$△ ABD ∽ △ CBE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题属于几何综合题，第一问考查等腰三角形和特殊直角三角形的边角关系，是基础的几何计算；第二问需要结合旋转性质挖掘边角关系，借助相似三角形求解，解题时注意利用前一问的结论，可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.65
9. 如图①②③均是$5×5$的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1。$△ ABC$的顶点均在格点上，用无刻度的直尺，按下列要求作图，保留作图痕迹。
(1)如图①，$△ ABC$的形状是
(2)如图①，确定一点$D$，连接$DB$，$DC$，使$△ DBC$与$△ ABC$全等；
(3)如图②，在$BC$上确定一点$E$，连接$AE$，使$△ ABE ∽ △ CBA$；
(4)如图③，在$AB$，$BC$上分别确定一点$P$，$Q$，连接$PQ$，使$△ PBQ ∽ △ ABC$，且相似比为$1:2$。
(1)如图①，$△ ABC$的形状是
直角三角形
；(2)如图①，确定一点$D$，连接$DB$，$DC$，使$△ DBC$与$△ ABC$全等；
(3)如图②，在$BC$上确定一点$E$，连接$AE$，使$△ ABE ∽ △ CBA$；
(4)如图③，在$AB$，$BC$上分别确定一点$P$，$Q$，连接$PQ$，使$△ PBQ ∽ △ ABC$，且相似比为$1:2$。
答案
9. (1) 直角三角形
(2) 如图①,点 $D$,点 $D'$,点 $D''$就是所求的点
(3) 如图②,点 $E$ 就是所求的点
(4) 如图③,点 $P$,点 $Q$ 就是所求的点
解析
【分析】
(1) 判断△ABC的形状可借助网格用勾股定理计算三边长，再通过勾股定理逆定理验证：先分别算出AB、AC、BC的平方，判断两短边平方和是否等于最长边平方即可。
(2) 作与△ABC全等的△DBC时，BC为公共边，根据全等三角形SSS判定规则，只需保证另外两组边分别对应相等，结合网格对称性在BC上下方找符合条件的格点即可。
(3) 要使△ABE∽△CBA，两三角形有公共角∠B，根据相似三角形判定，只需夹公共角的两边成比例，即$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{AB}$，代入边长算出BE的长度，即可在BC上定位点E。
(4) 要使△PBQ∽△ABC且相似比为1:2，根据相似三角形性质，对应边比为1:2，只需取AB的中点P、BC的中点Q，即可满足边成比例且夹角∠B公共，符合相似要求。
【解析】
(1) 计算三边长度：
每个小正方形边长为1，由勾股定理得：
$AB^2=4^2+2^2=20$，$AC^2=2^2+1^2=5$，$BC=5$，故$BC^2=25$。
∵ $AB^2+AC^2=20+5=25=BC^2$，由勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形。
(2) △DBC与△ABC全等，BC为公共边，分三类找格点：
① 取与点A关于BC对称的格点D，此时△DBC≌△ABC；
② 取与点A关于BC中垂线对称的格点D'，此时△D'BC≌△ABC；
③ 取与点D关于BC中垂线对称的格点D''，此时△D''BC≌△ABC；
即$D,D',D''$均为符合要求的点。
(3) 若△ABE∽△CBA，∠B为公共角，故满足$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{AB}$，即$AB^2=BC· BE$。
代入$AB^2=20$，$BC=5$，得$BE=\frac{20}{5}=4$，在BC上取距离点B为4个单位长度的格点即为E。
(4) 若△PBQ∽△ABC且相似比为$1:2$，则$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}=\frac{1}{2}$，且∠B为公共角。
取AB的中点P、BC的中点Q，连接PQ，即满足相似要求。
【答案】
(1) 直角三角形
(2) 如图①,点 $D$,点 $D'$,点 $D''$就是所求的点
(3) 如图②,点 $E$ 就是所求的点
(4) 如图③,点 $P$,点 $Q$ 就是所求的点
【知识点】
勾股定理及逆定理；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题以网格为背景考查三角形相关作图，需要灵活运用全等、相似的判定性质及勾股定理确定点的位置，兼顾考查几何推理能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断△ABC的形状可借助网格用勾股定理计算三边长，再通过勾股定理逆定理验证：先分别算出AB、AC、BC的平方，判断两短边平方和是否等于最长边平方即可。
(2) 作与△ABC全等的△DBC时，BC为公共边，根据全等三角形SSS判定规则，只需保证另外两组边分别对应相等，结合网格对称性在BC上下方找符合条件的格点即可。
(3) 要使△ABE∽△CBA，两三角形有公共角∠B，根据相似三角形判定，只需夹公共角的两边成比例，即$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{AB}$，代入边长算出BE的长度，即可在BC上定位点E。
(4) 要使△PBQ∽△ABC且相似比为1:2，根据相似三角形性质，对应边比为1:2，只需取AB的中点P、BC的中点Q，即可满足边成比例且夹角∠B公共，符合相似要求。
【解析】
(1) 计算三边长度：
每个小正方形边长为1，由勾股定理得：
$AB^2=4^2+2^2=20$，$AC^2=2^2+1^2=5$，$BC=5$，故$BC^2=25$。
∵ $AB^2+AC^2=20+5=25=BC^2$，由勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形。
(2) △DBC与△ABC全等，BC为公共边，分三类找格点：
① 取与点A关于BC对称的格点D，此时△DBC≌△ABC；
② 取与点A关于BC中垂线对称的格点D'，此时△D'BC≌△ABC；
③ 取与点D关于BC中垂线对称的格点D''，此时△D''BC≌△ABC；
即$D,D',D''$均为符合要求的点。
(3) 若△ABE∽△CBA，∠B为公共角，故满足$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{AB}$，即$AB^2=BC· BE$。
代入$AB^2=20$，$BC=5$，得$BE=\frac{20}{5}=4$，在BC上取距离点B为4个单位长度的格点即为E。
(4) 若△PBQ∽△ABC且相似比为$1:2$，则$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}=\frac{1}{2}$，且∠B为公共角。
取AB的中点P、BC的中点Q，连接PQ，即满足相似要求。
【答案】
(1) 直角三角形
(2) 如图①,点 $D$,点 $D'$,点 $D''$就是所求的点
(3) 如图②,点 $E$ 就是所求的点
(4) 如图③,点 $P$,点 $Q$ 就是所求的点
【知识点】
勾股定理及逆定理；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题以网格为背景考查三角形相关作图，需要灵活运用全等、相似的判定性质及勾股定理确定点的位置，兼顾考查几何推理能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
