1. 某斜坡的坡度$i=1:\sqrt{3}$，则该斜坡的坡角为 【 】

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

A

【分析】
解题时首先要明确坡度的概念：坡度i是斜坡的竖直高度与水平宽度的比值，同时坡度等于坡角的正切值，即$i=\tanα$（$α$为坡角）。接下来将题目给出的坡度转化为正切值，再结合特殊角的三角函数值即可求出对应的坡角。
【解析】
设该斜坡的坡角为$α$。
根据坡度的定义可知：坡度$i = \tanα = \frac{竖直高度}{水平宽度}=1:\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
已知$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且坡角的取值范围为$0°＜α＜90°$，因此可得$α=30°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
坡度与坡角的关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础类计算题，解题核心是掌握坡度和坡角的对应关系，只要熟记特殊角的三角函数值就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

2.（镇江中考）如图，小丽从点A出发，沿坡度为$10°$的坡道向上走了120 m到达点B处，则她沿垂直方向升高了 【 】

A.$\dfrac{120}{\tan 10°}\mathrm{m}$
B.$\dfrac{120}{\sin 10°}\mathrm{m}$
C.$120\tan 10°\mathrm{m}$
D.$120\sin 10°\mathrm{m}$

D

【分析】
首先将坡道问题转化为直角三角形模型：过点B作水平线的垂线，得到含10°角的直角三角形，其中坡道AB长120m是直角三角形的斜边，垂直升高的高度是10°角对应的对边。接下来回忆锐角三角函数的定义，已知斜边和锐角求对边，对应正弦函数的关系，即可列出式子求出升高的高度。
【解析】
过点B向过A的水平线作垂线，垂足为C，可得Rt△ABC，其中∠ACB=90°，∠BAC=10°，AB=120m，垂直升高的高度为BC的长度。
根据正弦函数的定义：$\sin∠ BAC=\frac{BC}{AB}$
变形得：$BC=AB·\sin∠ BAC$
将AB=120m，∠BAC=10°代入，得$BC=120\sin10°\mathrm{m}$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正弦函数定义；解直角三角形的应用；坡角的概念
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题核心是将实际问题抽象为直角三角形模型，找准锐角对应的对边、斜边，结合三角函数定义列式即可，考查学生的模型转化能力和基础知识应用能力。
【难度系数】
0.8

3. 如图是一水库大坝横断面的一部分，坝高$h=6\ \mathrm{m}$，迎水斜坡$AB=10\ \mathrm{m}$，斜坡的坡角为$α$，则$\tanα$的值为 【 】

A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$

D

【分析】
要解决这道题，我们首先需要将斜坡AB置于直角三角形中研究：过A点向坝底所在的水平线作垂线，即可得到包含坡角α的直角三角形。已知坝高h是该直角三角形的竖直直角边，斜边AB长度已知，首先用勾股定理求出水平直角边的长度，再根据正切的定义，坡角α的正切值等于竖直直角边与水平直角边的比值，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
过点A作AC垂直于坝底所在的水平直线，垂足为C，则AC=h=6 m，△ACB为直角三角形。
在Rt△ACB中，AB=10 m，AC=6 m，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
根据正切的定义，$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，正切的定义，坡角的概念
【点评】
本题结合水库大坝的实际场景考查解直角三角形的基础应用，解题核心是构造合适的直角三角形，灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算，解题思路清晰，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

4. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角$∠ BAC=18°$，高$BC=5\,\mathrm{m}$，则自动扶梯的长$AB$可表示为 【 】

A.$\dfrac{5}{\sin 18°}\,\mathrm{m}$
B.$5\cos 18°\,\mathrm{m}$
C.$\dfrac{5}{\cos 18°}\,\mathrm{m}$
D.$5\sin 18°\,\mathrm{m}$
（第4题） （第5题） （第6题）

A

【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，题目已知锐角∠BAC=18°，以及该角的对边BC的长度，要求斜边AB的长度。我们可以借助锐角三角函数中正弦的定义求解：正弦值等于锐角的对边与斜边的比值，将已知量代入公式变形即可得到AB的表达式。
【解析】
解：由题意得$BC⊥ AC$，即$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据正弦函数的定义：
$\sin∠ BAC=\frac{\mathrm{∠BAC的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$
已知$∠ BAC=18°$，$BC=5\,\mathrm{m}$，将数值代入上式变形可得：
$AB=\frac{BC}{\sin18°}=\frac{5}{\sin18°}\,\mathrm{m}$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合图形明确直角三角形中各边和已知角的对应关系，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 如图，一个小球由地面沿着坡度$i=1:3$的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地面的高度为 m.

5. $\sqrt{10}$

【分析】
解题时首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的竖直高度与水平宽度的比值。本题中坡度$i=1:3$，说明竖直高度和对应水平宽度的比为$1:3$。我们可以设小球距离地面的高度为未知数，根据比例表示出水平宽度，再结合坡面长度是直角三角形的斜边，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设此时小球距离地面的高度为$x$ m，
∵ 坡度$i=1:3=\frac{竖直高度}{水平宽度}$，
∴ 对应的水平移动宽度为$3x$ m。
竖直高度、水平宽度、坡面长度构成直角三角形，坡面长度为斜边，长度为10 m，根据勾股定理得：
$x^2+(3x)^2=10^2$
整理得：$10x^2=100$，
解得：$x=\sqrt{10}$（长度为正数，舍去负根$x=-\sqrt{10}$）。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
坡度的概念；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的应用，解题核心是准确理解坡度的含义，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，是坡度相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7

6.（绥化中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度$i=1:\sqrt{2}$（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高$BC=15\ \mathrm{m}$，则迎水坡面AB的长度是。

6. $15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$

【分析】
解题时首先明确坡度的定义：斜面坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，本题中坡度$i=BC:AC=1:\sqrt{2}$。已知铅直高度$BC$的长度，可先通过比例关系求出水平宽度$AC$的长度；又因为$△ ABC$是直角三角形，$∠ C$为直角，因此可利用勾股定理计算斜边$AB$的长度，即迎水坡面的长度。
【解析】
解：由题意可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，
∵ 坡度$i=BC:AC=1:\sqrt{2}$，且$BC=15\ \mathrm{m}$，
∴ $\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$\frac{15}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
解得$AC=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(15\sqrt{2})^2+15^2}$
$=\sqrt{450+225}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的定义；勾股定理；解直角三角形的应用
【点评】
本题是坡度相关的基础题型，解题核心是正确理解坡度的含义，结合直角三角形的勾股定理即可求解，解题难度较低。
【难度系数】
0.7