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4.【推理意识】我国古代的数学名著《九章算术》中的“方田章”记载了一种求圆的面积的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。（4分）
（1）利用这种方法求出直径为2厘米的圆的面积。（2分）
（2）你能用所学的数学知识验证这种方法吗？（2分）
（1）利用这种方法求出直径为2厘米的圆的面积。（2分）
（2）你能用所学的数学知识验证这种方法吗？（2分）
答案
4. (1) 3.14×2×2÷4=3.14(平方厘米)
(2) πd×d÷4=π×2r×2r÷4
$=4πr^2 ÷4$
$=πr^2$
(2) πd×d÷4=π×2r×2r÷4
$=4πr^2 ÷4$
$=πr^2$
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：先明确题目给出的圆面积计算规则为“周长×直径÷4”，已知圆的直径是2厘米，先根据圆的周长公式算出周长，再代入规则计算即可得到结果。
（2）第二问解题思路：要验证该方法的正确性，只需把已学的圆周长公式（$C=π d=2π r$）、直径和半径的关系（$d=2r$）代入题中方法的表达式，化简后和课本上的圆面积公式对比，若一致则说明方法成立。
【解析】
（1）已知圆的直径$d=2$厘米，圆的周长$C=π d=3.14×2$厘米，按照题中方法计算面积：
$S = C× d÷4=3.14×2×2÷4=3.14$（平方厘米）
（2）验证过程：
设圆的直径为$d$，半径为$r$，则$d=2r$，圆的周长$C=π d$，代入题中面积公式：
$S=C× d÷4=π d× d÷4$
将$d=2r$代入上式：
$=π×2r×2r÷4$
$=4π r^2÷4$
$=π r^2$
化简结果和课本所学的圆面积公式完全一致，因此该方法正确。
【答案】
(1) $3.14×2×2÷4=3.14$（平方厘米）
(2) $π d× d÷4=π×2r×2r÷4=4π r^2 ÷4=π r^2$，与标准圆面积公式一致，方法成立。
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、公式推导验证
【点评】
本题结合我国古代数学名著《九章算术》的内容设置问题，既考查了圆相关的基础计算能力，又锻炼了逻辑推理意识，能让学生感受到古代劳动人民的数学智慧。
【难度系数】
0.7
（1）第一问解题思路：先明确题目给出的圆面积计算规则为“周长×直径÷4”，已知圆的直径是2厘米，先根据圆的周长公式算出周长，再代入规则计算即可得到结果。
（2）第二问解题思路：要验证该方法的正确性，只需把已学的圆周长公式（$C=π d=2π r$）、直径和半径的关系（$d=2r$）代入题中方法的表达式，化简后和课本上的圆面积公式对比，若一致则说明方法成立。
【解析】
（1）已知圆的直径$d=2$厘米，圆的周长$C=π d=3.14×2$厘米，按照题中方法计算面积：
$S = C× d÷4=3.14×2×2÷4=3.14$（平方厘米）
（2）验证过程：
设圆的直径为$d$，半径为$r$，则$d=2r$，圆的周长$C=π d$，代入题中面积公式：
$S=C× d÷4=π d× d÷4$
将$d=2r$代入上式：
$=π×2r×2r÷4$
$=4π r^2÷4$
$=π r^2$
化简结果和课本所学的圆面积公式完全一致，因此该方法正确。
【答案】
(1) $3.14×2×2÷4=3.14$（平方厘米）
(2) $π d× d÷4=π×2r×2r÷4=4π r^2 ÷4=π r^2$，与标准圆面积公式一致，方法成立。
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、公式推导验证
【点评】
本题结合我国古代数学名著《九章算术》的内容设置问题，既考查了圆相关的基础计算能力，又锻炼了逻辑推理意识，能让学生感受到古代劳动人民的数学智慧。
【难度系数】
0.7
5.如图所示，地面上平躺着一个底面半径为0.5 m的圆柱形油桶。如果要将这个油桶滚到墙边，需要滚动几圈？（4分）
答案
5. 2×3.14×0.5
=6.28×0.5
=3.14(m)
16.2-0.5=15.7(m)
15.7÷3.14=5(圈)
=6.28×0.5
=3.14(m)
16.2-0.5=15.7(m)
15.7÷3.14=5(圈)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先明确两个核心条件：第一，油桶滚动1圈前进的距离等于它底面圆的周长；第二，油桶滚到墙边时，圆心距离墙面还有1个半径的长度，因此实际滚动的路程不是总距离16.2m，需要先减去半径的长度。最后用实际滚动的路程除以滚动1圈前进的距离，就能算出滚动的总圈数。
【解析】
1. 计算油桶滚动1圈前进的距离（即底面圆的周长）：
根据圆的周长公式$C=2π r$（$π$取3.14，$r$为半径），代入$r=0.5\mathrm{m}$得：
$2×3.14×0.5=3.14(\mathrm{m})$
2. 计算油桶实际需要滚动的路程：
油桶滚到墙边时圆心距离墙面为0.5m，因此实际路程为：
$16.2 - 0.5 = 15.7(\mathrm{m})$
3. 计算滚动圈数：
用实际路程除以每圈前进的距离：
$15.7÷3.14=5(\mathrm{圈})$
【答案】
5圈
【知识点】
圆的周长计算，实际路程分析
【点评】
本题的易错点是容易忽略油桶滚到墙边时剩余的半径长度，直接用总距离16.2m计算圈数，解题时需要结合实际场景分析有效路程，考查学生将数学公式应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先明确两个核心条件：第一，油桶滚动1圈前进的距离等于它底面圆的周长；第二，油桶滚到墙边时，圆心距离墙面还有1个半径的长度，因此实际滚动的路程不是总距离16.2m，需要先减去半径的长度。最后用实际滚动的路程除以滚动1圈前进的距离，就能算出滚动的总圈数。
【解析】
1. 计算油桶滚动1圈前进的距离（即底面圆的周长）：
根据圆的周长公式$C=2π r$（$π$取3.14，$r$为半径），代入$r=0.5\mathrm{m}$得：
$2×3.14×0.5=3.14(\mathrm{m})$
2. 计算油桶实际需要滚动的路程：
油桶滚到墙边时圆心距离墙面为0.5m，因此实际路程为：
$16.2 - 0.5 = 15.7(\mathrm{m})$
3. 计算滚动圈数：
用实际路程除以每圈前进的距离：
$15.7÷3.14=5(\mathrm{圈})$
【答案】
5圈
【知识点】
圆的周长计算，实际路程分析
【点评】
本题的易错点是容易忽略油桶滚到墙边时剩余的半径长度，直接用总距离16.2m计算圈数，解题时需要结合实际场景分析有效路程，考查学生将数学公式应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6.【应用意识】下面是国际标准椭圆形田径跑道的结构。(15分)
(1)从上图可知,每条跑道的直道长度是(
(2)根据上图提供的数据用计算器计算并填写下表。(π取3.14159,圆周长和跑道全长保留两位小数)(9分)
(3)发现:如果以内跑道一圈为标准,跑一圈,那么每一道的起跑线应在前一道起跑线前面约(
(1)从上图可知,每条跑道的直道长度是(
85.96
)m。从内往外数,第一条半圆形跑道的直径是(72.6
)m,第二条半圆形跑道的直径是(75.1
)m,往外每条半圆形跑道的直径都比前一条半圆形跑道的直径长(2.5
)m。(4分)(2)根据上图提供的数据用计算器计算并填写下表。(π取3.14159,圆周长和跑道全长保留两位小数)(9分)
(3)发现:如果以内跑道一圈为标准,跑一圈,那么每一道的起跑线应在前一道起跑线前面约(
7.85
)m处。(2分)答案
6. (1) 85.96 72.6 75.1 2.5
(2)
|跑道序号|直径/m|圆周长/m|跑道全长/m|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|1|72.6|228.08|400.00|
|2|75.1|235.93|407.85|
|3|77.6|243.79|415.71|
|4|80.1|251.64|423.56|
(3) 7.85
(2)
|跑道序号|直径/m|圆周长/m|跑道全长/m|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|1|72.6|228.08|400.00|
|2|75.1|235.93|407.85|
|3|77.6|243.79|415.71|
|4|80.1|251.64|423.56|
(3) 7.85
解析
【分析】
这道题是结合田径跑道场景的周长计算类题目，解题思路如下：① 先明确跑道结构：一圈跑道由2段长度相等的直道+2个可拼接成整圆的半圆形弯道组成，所有跑道的直道长度完全相同，弯道的直径差等于2倍的跑道宽度；② 计算单条跑道全长时，先利用圆周长公式算出弯道总长度，再加2段直道的总长度即可；③ 相邻跑道起跑线的提前距离就是相邻两条跑道的周长差，由于直道长度相同，直接计算相邻弯道的周长差即可。
【解析】
(1) 结合跑道结构数据可得，直道长度为85.96m；第一条半圆形跑道直径为72.6m，第二条半圆形跑道直径为75.1m，相邻两条半圆形跑道的直径差为75.1-72.6=2.5m，因此往外每条半圆形跑道的直径都比前一条长2.5m。
(2) 先计算2段直道的总长度：85.96×2=171.92m
跑道1：直径=72.6m
圆周长：3.14159×72.6≈228.08m
跑道全长：228.08+171.92=400.00m
跑道2：直径=75.1m
圆周长：3.14159×75.1≈235.93m
跑道全长：235.93+171.92=407.85m
跑道3：直径=75.1+2.5=77.6m
圆周长：3.14159×77.6≈243.79m
跑道全长：243.79+171.92=415.71m
跑道4：直径=77.6+2.5=80.1m
圆周长：3.14159×80.1≈251.64m
跑道全长：251.64+171.92=423.56m
(3) 相邻跑道起跑线提前的距离=相邻弯道周长差=π×相邻直径差=3.14159×2.5≈7.85m
【答案】
(1) 85.96；72.6；75.1；2.5
(2)
|跑道序号|直径/m|圆周长/m|跑道全长/m|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|1|72.6|228.08|400.00|
|2|75.1|235.93|407.85|
|3|77.6|243.79|415.71|
|4|80.1|251.64|423.56|
(3)7.85
【知识点】
圆的周长计算、周长的实际应用、起跑线问题
【点评】
本题将圆周长的理论知识和生活中田径跑道的实际场景相结合，既考查了基础公式的灵活运用能力，也引导学生主动用数学知识解决生活中的实际问题，解题时要注意直道长度所有跑道通用，仅需要计算弯道部分的长度差即可简化运算。
【难度系数】
0.7
这道题是结合田径跑道场景的周长计算类题目，解题思路如下：① 先明确跑道结构：一圈跑道由2段长度相等的直道+2个可拼接成整圆的半圆形弯道组成，所有跑道的直道长度完全相同，弯道的直径差等于2倍的跑道宽度；② 计算单条跑道全长时，先利用圆周长公式算出弯道总长度，再加2段直道的总长度即可；③ 相邻跑道起跑线的提前距离就是相邻两条跑道的周长差，由于直道长度相同，直接计算相邻弯道的周长差即可。
【解析】
(1) 结合跑道结构数据可得，直道长度为85.96m；第一条半圆形跑道直径为72.6m，第二条半圆形跑道直径为75.1m，相邻两条半圆形跑道的直径差为75.1-72.6=2.5m，因此往外每条半圆形跑道的直径都比前一条长2.5m。
(2) 先计算2段直道的总长度：85.96×2=171.92m
跑道1：直径=72.6m
圆周长：3.14159×72.6≈228.08m
跑道全长：228.08+171.92=400.00m
跑道2：直径=75.1m
圆周长：3.14159×75.1≈235.93m
跑道全长：235.93+171.92=407.85m
跑道3：直径=75.1+2.5=77.6m
圆周长：3.14159×77.6≈243.79m
跑道全长：243.79+171.92=415.71m
跑道4：直径=77.6+2.5=80.1m
圆周长：3.14159×80.1≈251.64m
跑道全长：251.64+171.92=423.56m
(3) 相邻跑道起跑线提前的距离=相邻弯道周长差=π×相邻直径差=3.14159×2.5≈7.85m
【答案】
(1) 85.96；72.6；75.1；2.5
(2)
|跑道序号|直径/m|圆周长/m|跑道全长/m|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|1|72.6|228.08|400.00|
|2|75.1|235.93|407.85|
|3|77.6|243.79|415.71|
|4|80.1|251.64|423.56|
(3)7.85
【知识点】
圆的周长计算、周长的实际应用、起跑线问题
【点评】
本题将圆周长的理论知识和生活中田径跑道的实际场景相结合，既考查了基础公式的灵活运用能力，也引导学生主动用数学知识解决生活中的实际问题，解题时要注意直道长度所有跑道通用，仅需要计算弯道部分的长度差即可简化运算。
【难度系数】
0.7
