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15. 用反证法证明：
如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ APB ≠ ∠ APC$，求证：$PB ≠ PC$.
如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ APB ≠ ∠ APC$，求证：$PB ≠ PC$.
答案
假设 $PB=PC$. 在 $△ ABP$ 和 $△ ACP$ 中, $\because \begin{cases} AB=AC, \\ AP=AP, \\ BP=CP, \end{cases}$ $\therefore △ ABP ≌ △ ACP$.
$\therefore ∠ APB=∠ APC$,这与 $∠ APB ≠ ∠ APC$ 相矛盾. $\therefore$ 假设“$PB=PC$”不成立. $\therefore PB ≠ PC$
$\therefore ∠ APB=∠ APC$,这与 $∠ APB ≠ ∠ APC$ 相矛盾. $\therefore$ 假设“$PB=PC$”不成立. $\therefore PB ≠ PC$
解析
【分析】
使用反证法证明该命题时，遵循反证法的基本逻辑思考：第一步先假设待证结论不成立，即假设结论的反面$PB=PC$成立；第二步结合已知条件$AB=AC$和公共边$AP$，利用全等三角形判定定理推导，会得出$∠APB=∠APC$的结论，该结论和题目给出的$∠APB≠∠APC$矛盾；第三步由矛盾判定假设不成立，从而肯定原结论$PB≠PC$正确。
【解析】
假设 $PB=PC$.
在$△ ABP$ 和 $△ ACP$ 中,
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ AP=AP, \\ BP=CP, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ ACP$（SSS）.
$\therefore ∠ APB=∠ APC$，这与已知$∠ APB ≠ ∠ APC$相矛盾.
$\therefore$ 假设“$PB=PC$”不成立.
$\therefore PB ≠ PC$.
【答案】
$PB ≠ PC$
【知识点】
反证法；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握反证法的三步推导逻辑，结合全等三角形的相关知识推出矛盾，即可完成证明。
【难度系数】
0.7
使用反证法证明该命题时，遵循反证法的基本逻辑思考：第一步先假设待证结论不成立，即假设结论的反面$PB=PC$成立；第二步结合已知条件$AB=AC$和公共边$AP$，利用全等三角形判定定理推导，会得出$∠APB=∠APC$的结论，该结论和题目给出的$∠APB≠∠APC$矛盾；第三步由矛盾判定假设不成立，从而肯定原结论$PB≠PC$正确。
【解析】
假设 $PB=PC$.
在$△ ABP$ 和 $△ ACP$ 中,
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ AP=AP, \\ BP=CP, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ ACP$（SSS）.
$\therefore ∠ APB=∠ APC$，这与已知$∠ APB ≠ ∠ APC$相矛盾.
$\therefore$ 假设“$PB=PC$”不成立.
$\therefore PB ≠ PC$.
【答案】
$PB ≠ PC$
【知识点】
反证法；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握反证法的三步推导逻辑，结合全等三角形的相关知识推出矛盾，即可完成证明。
【难度系数】
0.7
1. 如图,已知正方体纸盒的高为1,一只蚂蚁从其中一个顶点A处沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B处,则蚂蚁爬行的最短距离是 【 】
A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2}+1$
A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2}+1$
答案
C
解析
【分析】
解决正方体表面的最短爬行路径问题，核心是用“化曲为直”的转化思想：首先蚂蚁沿表面爬行，路径是立体表面的折线，我们需要把蚂蚁爬行经过的相邻两个面展开成同一平面，根据两点之间线段最短，此时A、B两点的线段长度就是最短距离，再结合勾股定理计算线段长度即可。注意不能直接计算正方体的体对角线，因为蚂蚁无法穿过正方体内部爬行。
【解析】
已知正方体的棱长均为1，将A所在的面与B所在的相邻面展开到同一平面，此时连接AB，线段AB即为最短路径。
此时AB可看作直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别为：$1+1=2$，$1$。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
因此蚂蚁爬行的最短距离是$\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；正方体表面展开；勾股定理的应用
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，重点考查转化思想的应用，解题的易错点是误将内部体对角线当作表面最短路径，只要掌握将立体表面展开为平面的思路，结合勾股定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决正方体表面的最短爬行路径问题，核心是用“化曲为直”的转化思想：首先蚂蚁沿表面爬行，路径是立体表面的折线，我们需要把蚂蚁爬行经过的相邻两个面展开成同一平面，根据两点之间线段最短，此时A、B两点的线段长度就是最短距离，再结合勾股定理计算线段长度即可。注意不能直接计算正方体的体对角线，因为蚂蚁无法穿过正方体内部爬行。
【解析】
已知正方体的棱长均为1，将A所在的面与B所在的相邻面展开到同一平面，此时连接AB，线段AB即为最短路径。
此时AB可看作直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别为：$1+1=2$，$1$。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
因此蚂蚁爬行的最短距离是$\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；正方体表面展开；勾股定理的应用
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，重点考查转化思想的应用，解题的易错点是误将内部体对角线当作表面最短路径，只要掌握将立体表面展开为平面的思路，结合勾股定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面的直径为10cm，高为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a的最小值为【 】
A.11
B.12
C.13
D.14
A.11
B.12
C.13
D.14
答案
B
解析
【分析】
要计算露在水杯外吸管长度a的最小值，首先明确吸管总长度固定为25cm，因此只要让水杯内部的吸管长度取最大值，露在外面的a就最小。由于吸管是从盖子圆心处插入的，当吸管底端落在杯底圆周上时，杯内吸管长度最大，此时杯内吸管、水杯的高、底面半径恰好构成直角三角形，用勾股定理求出杯内最长吸管长度后，用总长度减去该值即可得到a的最小值。
【解析】
要使a最小，则杯内吸管长度需取最大值：
1. 先求底面半径：已知水杯底面直径为10cm，因此底面半径$r=10÷2=5\mathrm{cm}$，水杯高$h=12\mathrm{cm}$。
2. 杯内吸管长度最大时，底面半径、水杯的高为直角三角形的两条直角边，杯内吸管为斜边，根据勾股定理可得：
杯内最大吸管长度$=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
3. 计算a的最小值：$a_{\mathrm{最小}}=25-13=12\mathrm{cm}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的实际应用，圆柱的特征
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题核心是找到杯内吸管最长的放置方式，将实际问题转化为直角三角形求边长的数学问题，侧重考查学生的空间想象能力和建模能力。
【难度系数】
0.7
要计算露在水杯外吸管长度a的最小值，首先明确吸管总长度固定为25cm，因此只要让水杯内部的吸管长度取最大值，露在外面的a就最小。由于吸管是从盖子圆心处插入的，当吸管底端落在杯底圆周上时，杯内吸管长度最大，此时杯内吸管、水杯的高、底面半径恰好构成直角三角形，用勾股定理求出杯内最长吸管长度后，用总长度减去该值即可得到a的最小值。
【解析】
要使a最小，则杯内吸管长度需取最大值：
1. 先求底面半径：已知水杯底面直径为10cm，因此底面半径$r=10÷2=5\mathrm{cm}$，水杯高$h=12\mathrm{cm}$。
2. 杯内吸管长度最大时，底面半径、水杯的高为直角三角形的两条直角边，杯内吸管为斜边，根据勾股定理可得：
杯内最大吸管长度$=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
3. 计算a的最小值：$a_{\mathrm{最小}}=25-13=12\mathrm{cm}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的实际应用，圆柱的特征
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题核心是找到杯内吸管最长的放置方式，将实际问题转化为直角三角形求边长的数学问题，侧重考查学生的空间想象能力和建模能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是 【 】
A.100 cm
B.120 cm
C.130 cm
D.150 cm
4
A.100 cm
B.120 cm
C.130 cm
D.150 cm
4
答案
C
解析
【分析】
求解立体图形上的最短路径问题，核心是用转化思想：先将立体表面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，两点的连线就是最短路径，再用勾股定理计算连线长度即可。本题中首先明确台阶共2层，先计算展开后形成的直角三角形的两条直角边长度，再代入勾股定理求解即可。
【解析】
将台阶的所有踏面（水平面）和踢面（竖直面）展开为一个平面，此时点A到点B的最短路径就是展开平面中A、B两点的连线段，该线段为直角三角形的斜边。
计算两条直角边的长度：
1. 第一条直角边为台阶的正面宽度，即图中标注的50cm；
2. 第二条直角边为2层台阶的总高度与总进深之和：每层高20cm、进深（长）40cm，因此总长度为 $2×20 + 2×40 = 120\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理，最短路径长度为：
$\sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；最短路径问题；立体图形展开
【点评】
本题重点考查立体图形到平面图形的转化思想，易错点是展开时容易算错两条直角边的长度，只要准确梳理台阶各部分尺寸、正确展开平面，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
求解立体图形上的最短路径问题，核心是用转化思想：先将立体表面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，两点的连线就是最短路径，再用勾股定理计算连线长度即可。本题中首先明确台阶共2层，先计算展开后形成的直角三角形的两条直角边长度，再代入勾股定理求解即可。
【解析】
将台阶的所有踏面（水平面）和踢面（竖直面）展开为一个平面，此时点A到点B的最短路径就是展开平面中A、B两点的连线段，该线段为直角三角形的斜边。
计算两条直角边的长度：
1. 第一条直角边为台阶的正面宽度，即图中标注的50cm；
2. 第二条直角边为2层台阶的总高度与总进深之和：每层高20cm、进深（长）40cm，因此总长度为 $2×20 + 2×40 = 120\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理，最短路径长度为：
$\sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；最短路径问题；立体图形展开
【点评】
本题重点考查立体图形到平面图形的转化思想，易错点是展开时容易算错两条直角边的长度，只要准确梳理台阶各部分尺寸、正确展开平面，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
