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用科学记数法表示小于1的正数
一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为
一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为
$a × 10^{-n}$
的形式，其中1≤a＜10，n是正整数。答案
$a × 10^{-n}$
解析
【分析】
解题时先回忆科学记数法的基本规则：科学记数法是将数写成a与10的幂相乘的形式，且要求1≤a＜10。表示大于1的数时，10的指数为正整数；表示小于1的正数时，需要把原数的小数点向右移动到第一个非零数字后得到a，小数点移动了几位，10的指数就是负几，结合题干给出的“n是正整数”的条件，就能推导得出对应的表达形式。
【解析】
根据科学记数法的定义，小于1的正数用科学记数法表示时，a的取值范围满足1≤a＜10，由于原数小于1，因此10的指数为负整数，题干已说明n是正整数，因此指数部分可写为-n，最终表达形式为$a × 10^{-n}$。
【答案】
$a × 10^{-n}$
【知识点】
1. 科学记数法；2. 负整数指数幂
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对科学记数法表示较小正数的形式的识记，掌握科学记数法的书写规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆科学记数法的基本规则：科学记数法是将数写成a与10的幂相乘的形式，且要求1≤a＜10。表示大于1的数时，10的指数为正整数；表示小于1的正数时，需要把原数的小数点向右移动到第一个非零数字后得到a，小数点移动了几位，10的指数就是负几，结合题干给出的“n是正整数”的条件，就能推导得出对应的表达形式。
【解析】
根据科学记数法的定义，小于1的正数用科学记数法表示时，a的取值范围满足1≤a＜10，由于原数小于1，因此10的指数为负整数，题干已说明n是正整数，因此指数部分可写为-n，最终表达形式为$a × 10^{-n}$。
【答案】
$a × 10^{-n}$
【知识点】
1. 科学记数法；2. 负整数指数幂
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对科学记数法表示较小正数的形式的识记，掌握科学记数法的书写规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
典例1 用科学记数法表示下列各数：
0.000 1,0.000 13,0.000 000 204,
0.000 000 004 06.
规律总结 确定$n$的方法:对于小于1的正数,$n$的值是这个数从左边起第一个不为0的数字前面的0的个数(包括小数点前的那个0).例如:0.000 031 5这个数从左边起第一个不为0的数字前面有5个0,则$n=5$,所以$0.000\ 031\ 5=3.15× 10^{-5}$.
举一反三 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.003 009；
(2)0.000 010 96；
(3)0.000 329.
0.000 1,0.000 13,0.000 000 204,
0.000 000 004 06.
规律总结 确定$n$的方法:对于小于1的正数,$n$的值是这个数从左边起第一个不为0的数字前面的0的个数(包括小数点前的那个0).例如:0.000 031 5这个数从左边起第一个不为0的数字前面有5个0,则$n=5$,所以$0.000\ 031\ 5=3.15× 10^{-5}$.
举一反三 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.003 009；
(2)0.000 010 96；
(3)0.000 329.
答案
解 (1)$0.003\ 009=3.009×10^{-3}$.
(2)$0.000\ 010\ 96=1.096×10^{-5}$.
(3)$0.000\ 329=3.29×10^{-4}$.
(2)$0.000\ 010\ 96=1.096×10^{-5}$.
(3)$0.000\ 329=3.29×10^{-4}$.
解析
【分析】
小于1的正数用科学记数法的表示形式为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。解题时按两步思考：第一步确定$a$，把原数的小数点向右移动到第一个不为0的数字后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$，$n$的值等于原数左边起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），也等于小数点向右移动的位数，最后按形式写出结果即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$是正整数）。
(1) 对$0.003009$：左边第一个不为0的数字是3，它前面共有3个0，因此$n=3$，小数点右移3位得$a=3.009$，即$0.003009=3.009×10^{-3}$。
(2) 对$0.00001096$：左边第一个不为0的数字是1，它前面共有5个0，因此$n=5$，小数点右移5位得$a=1.096$，即$0.00001096=1.096×10^{-5}$。
(3) 对$0.000329$：左边第一个不为0的数字是3，它前面共有4个0，因此$n=4$，小数点右移4位得$a=3.29$，即$0.000329=3.29×10^{-4}$。
【答案】
(1)$3.009×10^{-3}$
(2)$1.096×10^{-5}$
(3)$3.29×10^{-4}$
【知识点】
1. 科学记数法表示较小数
2. 负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，核心是掌握小于1的正数用科学记数法的表示规则，重点要准确判断$a$的取值范围和$n$的数值，熟练掌握规律后可快速解题，是后续相关计算的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
小于1的正数用科学记数法的表示形式为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤ a＜10$，$n$为正整数。解题时按两步思考：第一步确定$a$，把原数的小数点向右移动到第一个不为0的数字后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$，$n$的值等于原数左边起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），也等于小数点向右移动的位数，最后按形式写出结果即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$是正整数）。
(1) 对$0.003009$：左边第一个不为0的数字是3，它前面共有3个0，因此$n=3$，小数点右移3位得$a=3.009$，即$0.003009=3.009×10^{-3}$。
(2) 对$0.00001096$：左边第一个不为0的数字是1，它前面共有5个0，因此$n=5$，小数点右移5位得$a=1.096$，即$0.00001096=1.096×10^{-5}$。
(3) 对$0.000329$：左边第一个不为0的数字是3，它前面共有4个0，因此$n=4$，小数点右移4位得$a=3.29$，即$0.000329=3.29×10^{-4}$。
【答案】
(1)$3.009×10^{-3}$
(2)$1.096×10^{-5}$
(3)$3.29×10^{-4}$
【知识点】
1. 科学记数法表示较小数
2. 负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，核心是掌握小于1的正数用科学记数法的表示规则，重点要准确判断$a$的取值范围和$n$的数值，熟练掌握规律后可快速解题，是后续相关计算的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
典例2 某杆状细菌长约$2\ μ\mathrm{m}(1\ μ\mathrm{m}=10^{-6}\ \mathrm{m})$.若1 000个该杆状细菌依次连接成一条直线,求连接成的这条直线的长度?
(结果用科学记数法表示)
(结果用科学记数法表示)
答案
解：
依题意计算总长度：
$2×10^{-6} × 1000$
$=2×10^{-6}×10^{3}$
$=2×10^{-3}\ (\mathrm{m})$
答：连接成的这条直线的长度为$2×10^{-3}\ \mathrm{m}$。
依题意计算总长度：
$2×10^{-6} × 1000$
$=2×10^{-6}×10^{3}$
$=2×10^{-3}\ (\mathrm{m})$
答：连接成的这条直线的长度为$2×10^{-3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先明确数量关系：连接后的总长度=单个细菌的长度×细菌的个数。第一步先将单个细菌的长度单位换算为米，根据已知$1\ μ\mathrm{m}=10^{-6}\ \mathrm{m}$，可得单个细菌长度为$2×10^{-6}\ \mathrm{m}$；第二步将细菌个数1000转化为$10^3$的形式，方便后续用同底数幂的运算法则计算；第三步按照同底数幂相乘，底数不变、指数相加的规则计算结果，最后整理为科学记数法的标准形式即可。
【解析】
解：依题意，连接成直线的总长度为单个细菌长度乘细菌总数，计算过程如下：
$\begin{aligned}&2×10^{-6} × 1000\\=&2×10^{-6}×10^{3}\\=&2×10^{-6+3}\\=&2×10^{-3}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
$2×10^{-3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
科学记数法；同底数幂的乘法；单位换算
【点评】
本题是科学记数法在实际生活中的应用类题目，解题的核心是找准总长度的计算逻辑，熟练掌握同底数幂的运算规则，注意单位统一和科学记数法的书写规范即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数量关系：连接后的总长度=单个细菌的长度×细菌的个数。第一步先将单个细菌的长度单位换算为米，根据已知$1\ μ\mathrm{m}=10^{-6}\ \mathrm{m}$，可得单个细菌长度为$2×10^{-6}\ \mathrm{m}$；第二步将细菌个数1000转化为$10^3$的形式，方便后续用同底数幂的运算法则计算；第三步按照同底数幂相乘，底数不变、指数相加的规则计算结果，最后整理为科学记数法的标准形式即可。
【解析】
解：依题意，连接成直线的总长度为单个细菌长度乘细菌总数，计算过程如下：
$\begin{aligned}&2×10^{-6} × 1000\\=&2×10^{-6}×10^{3}\\=&2×10^{-6+3}\\=&2×10^{-3}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
$2×10^{-3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
科学记数法；同底数幂的乘法；单位换算
【点评】
本题是科学记数法在实际生活中的应用类题目，解题的核心是找准总长度的计算逻辑，熟练掌握同底数幂的运算规则，注意单位统一和科学记数法的书写规范即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
举一反三 钢轨温度每变化$1\ °\mathrm{C}$，每米钢轨就伸缩$0.000\ 011\ 8\ \mathrm{m}$，如果一年中气温上下相差$40\ °\mathrm{C}$，那么对于$100\ \mathrm{m}$长的铁路，最长可伸长多少米？（结果用科学记数法表示）
典例解析
典例1
解 $0.000\ 1=1× 10^{-4}$；
$0.000\ 13=1.3× 10^{-4}$；
$0.000\ 000\ 204=2.04× 10^{-7}$；
$0.000\ 000\ 004\ 06=4.06× 10^{-9}$.
典例2
解 $1\ 000× 2× 10^{-6}=2× 10^{-3}(\mathrm{m})$.
故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$.
典例解析
典例1
解 $0.000\ 1=1× 10^{-4}$；
$0.000\ 13=1.3× 10^{-4}$；
$0.000\ 000\ 204=2.04× 10^{-7}$；
$0.000\ 000\ 004\ 06=4.06× 10^{-9}$.
典例2
解 $1\ 000× 2× 10^{-6}=2× 10^{-3}(\mathrm{m})$.
故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$.
答案
解 $100×40×0.000\ 011\ 8=0.047\ 2=4.72×10^{-2}(\mathrm{m})$.
故最长可伸长$4.72×10^{-2}\mathrm{m}$.
故最长可伸长$4.72×10^{-2}\mathrm{m}$.
解析
【分析】
解题时首先明确总伸长量的计算逻辑：总伸长量=钢轨总长度×气温差×每米每℃的伸缩量，先根据这个数量关系列出乘法算式计算出总伸长的具体数值，再按照小于1的正数的科学记数法规则将结果改写为$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤ a＜10$，$n$等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数。
【解析】
第一步，根据题意列出计算总伸长量的算式：
总伸长量$=100×40×0.0000118$
第二步，计算算式结果：
$100×40=4000$，$4000×0.0000118=0.0472$
第三步，将$0.0472$转化为科学记数法：
$0.0472$左起第一个非零数字是4，前面有2个0，因此$0.0472=4.72×10^{-2}\ \mathrm{m}$
【答案】
$4.72×10^{-2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 有理数乘法的实际应用
2. 科学记数法表示小于1的正数
【点评】
本题结合生活中的钢轨热胀冷缩现象考查基础运算和记数方法，解题关键是理清数量关系，熟练掌握科学记数法的表示规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确总伸长量的计算逻辑：总伸长量=钢轨总长度×气温差×每米每℃的伸缩量，先根据这个数量关系列出乘法算式计算出总伸长的具体数值，再按照小于1的正数的科学记数法规则将结果改写为$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤ a＜10$，$n$等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数。
【解析】
第一步，根据题意列出计算总伸长量的算式：
总伸长量$=100×40×0.0000118$
第二步，计算算式结果：
$100×40=4000$，$4000×0.0000118=0.0472$
第三步，将$0.0472$转化为科学记数法：
$0.0472$左起第一个非零数字是4，前面有2个0，因此$0.0472=4.72×10^{-2}\ \mathrm{m}$
【答案】
$4.72×10^{-2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 有理数乘法的实际应用
2. 科学记数法表示小于1的正数
【点评】
本题结合生活中的钢轨热胀冷缩现象考查基础运算和记数方法，解题关键是理清数量关系，熟练掌握科学记数法的表示规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
