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1. $2^{-3}$的值是(
A.-6
B.-8
C.$\frac{1}{8}$
D.$-\frac{1}{8}$
C
).A.-6
B.-8
C.$\frac{1}{8}$
D.$-\frac{1}{8}$
答案
C
解析
【分析】
拿到本题，首先明确考查的是负整数指数幂的计算，解题思路如下：1. 先回忆负整数指数幂的运算法则：非零数的负整数次幂等于该数正整数次幂的倒数；2. 本题中底数是2（正数），因此计算结果一定为正，可先排除A、B、D三个带负号的错误选项；3. 再代入法则计算验证，即可得到正确结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），将$a=2$，$p=3$代入公式可得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查负整数指数幂运算法则的掌握，解题时要注意区分负指数和负数乘方的区别，不要误把负指数当成结果带负号，牢记法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到本题，首先明确考查的是负整数指数幂的计算，解题思路如下：1. 先回忆负整数指数幂的运算法则：非零数的负整数次幂等于该数正整数次幂的倒数；2. 本题中底数是2（正数），因此计算结果一定为正，可先排除A、B、D三个带负号的错误选项；3. 再代入法则计算验证，即可得到正确结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），将$a=2$，$p=3$代入公式可得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查负整数指数幂运算法则的掌握，解题时要注意区分负指数和负数乘方的区别，不要误把负指数当成结果带负号，牢记法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.计算：$(a^{-1}b^{2})^{3}=$.
答案
$\dfrac{b^6}{a^3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆幂的相关运算法则：第一步先运用积的乘方法则，将括号内的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；第二步运用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘分别计算两个因式的结果；最后根据负整数指数幂的意义，将负指数转化为正指数的形式即可得到最终结果。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(a^{-1}b^{2})^{3}=(a^{-1})^3·(b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得：
$(a^{-1})^3=a^{-1×3}=a^{-3}$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
所以原式可化为$a^{-3}b^6$
最后根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}$，因此：
$a^{-3}b^6=\dfrac{b^6}{a^3}$
【答案】
$\dfrac{b^6}{a^3}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；负整数指数幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查幂的相关运算法则的应用，只要熟练掌握各运算法则的运算顺序和规则，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆幂的相关运算法则：第一步先运用积的乘方法则，将括号内的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；第二步运用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘分别计算两个因式的结果；最后根据负整数指数幂的意义，将负指数转化为正指数的形式即可得到最终结果。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(a^{-1}b^{2})^{3}=(a^{-1})^3·(b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得：
$(a^{-1})^3=a^{-1×3}=a^{-3}$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
所以原式可化为$a^{-3}b^6$
最后根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}$，因此：
$a^{-3}b^6=\dfrac{b^6}{a^3}$
【答案】
$\dfrac{b^6}{a^3}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；负整数指数幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查幂的相关运算法则的应用，只要熟练掌握各运算法则的运算顺序和规则，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
3.若$a^{-1}=(-1)^0$，则$a=$.
答案
1
解析
【分析】
解题时先回忆零指数幂和负整数指数幂的运算规则，第一步先计算等式右侧的$(-1)^0$，根据零指数幂的性质可得结果为1；第二步将等式左侧的$a^{-1}$根据负整数指数幂的性质转化为分式形式，即可得到关于$a$的简单方程，求解后验证底数不为0的隐含条件即可得到结果。
【解析】
第一步：计算等号右侧的零指数幂
根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂都等于1，可得$(-1)^0=1$，因此原等式可化为$a^{-1}=1$。
第二步：转化负整数指数幂
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），当$p=1$时，$a^{-1}=\frac{1}{a}$（$a≠0$），因此等式变为$\frac{1}{a}=1$。
第三步：解方程并验证
等式两边同时乘$a$（$a≠0$），得$a=1$，验证：当$a=1$时，分母$a≠0$，符合运算要求。
【答案】
1
【知识点】
1. 零指数幂的性质
2. 负整数指数幂的性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对零指数幂、负整数指数幂运算规则的掌握，解题时要注意底数不能为0的隐含限制，避免出现无意义的运算结果。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆零指数幂和负整数指数幂的运算规则，第一步先计算等式右侧的$(-1)^0$，根据零指数幂的性质可得结果为1；第二步将等式左侧的$a^{-1}$根据负整数指数幂的性质转化为分式形式，即可得到关于$a$的简单方程，求解后验证底数不为0的隐含条件即可得到结果。
【解析】
第一步：计算等号右侧的零指数幂
根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂都等于1，可得$(-1)^0=1$，因此原等式可化为$a^{-1}=1$。
第二步：转化负整数指数幂
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），当$p=1$时，$a^{-1}=\frac{1}{a}$（$a≠0$），因此等式变为$\frac{1}{a}=1$。
第三步：解方程并验证
等式两边同时乘$a$（$a≠0$），得$a=1$，验证：当$a=1$时，分母$a≠0$，符合运算要求。
【答案】
1
【知识点】
1. 零指数幂的性质
2. 负整数指数幂的性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对零指数幂、负整数指数幂运算规则的掌握，解题时要注意底数不能为0的隐含限制，避免出现无意义的运算结果。
【难度系数】
0.9
4. 计算:
(1) $(2m^2n^{-3})^2 · (-mn^{-2})^{-2}$；
(2) $4x^2y^{-3}z ÷ (-2x^{-1}yz^{-2})^2$；
(3) $(\frac{1}{2})^{-3} - 2^3 × 0.125 + 2136^0 + |-1|$；
(4) $2 × (π - 3.14)^0 + 8 × (3 × 2)^{-1} + (-\frac{1}{2})^{-4}$。
(1) $(2m^2n^{-3})^2 · (-mn^{-2})^{-2}$；
(2) $4x^2y^{-3}z ÷ (-2x^{-1}yz^{-2})^2$；
(3) $(\frac{1}{2})^{-3} - 2^3 × 0.125 + 2136^0 + |-1|$；
(4) $2 × (π - 3.14)^0 + 8 × (3 × 2)^{-1} + (-\frac{1}{2})^{-4}$。
答案
解 (1)原式$=4m^4n^{-6} · m^{-2}n^4$
$=4m^2n^{-2}=\dfrac{4m^2}{n^2}.$
(2)原式$=4x^2y^{-3}z ÷ (4x^{-2}y^2z^{-4})$
$=x^4y^{-5}z^5=\dfrac{x^4z^5}{y^5}.$
(3)原式$=8-8×0.125+1+1$
$=8-1+1+1$
$=9.$
(4)原式$=2×1+8×\dfrac{1}{6}+16$
$=2+\dfrac{4}{3}+16$
$=19\dfrac{1}{3}.$
$=4m^2n^{-2}=\dfrac{4m^2}{n^2}.$
(2)原式$=4x^2y^{-3}z ÷ (4x^{-2}y^2z^{-4})$
$=x^4y^{-5}z^5=\dfrac{x^4z^5}{y^5}.$
(3)原式$=8-8×0.125+1+1$
$=8-1+1+1$
$=9.$
(4)原式$=2×1+8×\dfrac{1}{6}+16$
$=2+\dfrac{4}{3}+16$
$=19\dfrac{1}{3}.$
解析
【分析】
解决这类整数指数幂的混合运算问题，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：
1. 处理乘方运算时，先运用积的乘方、幂的乘方法则展开，再结合负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$、零指数幂规则$a^0=1(a≠0)$化简；
2. 乘除运算阶段，按照同底数幂“相乘指数相加、相除指数相减”的规则计算，注意系数也要同步运算；
3. 加减运算阶段，先把绝对值、零指数、负指数的结果算出，再按有理数加减法则计算，最后将结果中的负指数化为正指数的分式形式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算同底数幂乘法：
原式$=4m^4n^{-6} · m^{-2}n^4$
$=4m^{4-2}n^{-6+4}$
$=4m^2n^{-2}=\dfrac{4m^2}{n^2}$
(2) 先计算除数的乘方，再计算同底数幂除法：
原式$=4x^2y^{-3}z ÷ (4x^{-2}y^2z^{-4})$
$=(4÷4)x^{2-(-2)}y^{-3-2}z^{1-(-4)}$
$=x^4y^{-5}z^5=\dfrac{x^4z^5}{y^5}$
(3) 分别计算负指数幂、乘方、零指数幂、绝对值，再做加减：
原式$=8-8×0.125+1+1$
$=8-1+1+1$
$=9$
(4) 分别计算零指数幂、负指数幂，再做加减：
原式$=2×1+8×\dfrac{1}{6}+16$
$=2+\dfrac{4}{3}+16$
$=19\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{4m^2}{n^2}$；(2) $\dfrac{x^4z^5}{y^5}$；(3) $9$；(4) $19\dfrac{1}{3}$
【知识点】
整数指数幂运算；零指数幂；负整数指数幂
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心考查幂的各类运算法则的应用，解题时需特别注意指数的符号变化，严格按照运算顺序计算，最终结果要化为最简形式（负指数转化为正指数）。
【难度系数】
0.7
解决这类整数指数幂的混合运算问题，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：
1. 处理乘方运算时，先运用积的乘方、幂的乘方法则展开，再结合负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$、零指数幂规则$a^0=1(a≠0)$化简；
2. 乘除运算阶段，按照同底数幂“相乘指数相加、相除指数相减”的规则计算，注意系数也要同步运算；
3. 加减运算阶段，先把绝对值、零指数、负指数的结果算出，再按有理数加减法则计算，最后将结果中的负指数化为正指数的分式形式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算同底数幂乘法：
原式$=4m^4n^{-6} · m^{-2}n^4$
$=4m^{4-2}n^{-6+4}$
$=4m^2n^{-2}=\dfrac{4m^2}{n^2}$
(2) 先计算除数的乘方，再计算同底数幂除法：
原式$=4x^2y^{-3}z ÷ (4x^{-2}y^2z^{-4})$
$=(4÷4)x^{2-(-2)}y^{-3-2}z^{1-(-4)}$
$=x^4y^{-5}z^5=\dfrac{x^4z^5}{y^5}$
(3) 分别计算负指数幂、乘方、零指数幂、绝对值，再做加减：
原式$=8-8×0.125+1+1$
$=8-1+1+1$
$=9$
(4) 分别计算零指数幂、负指数幂，再做加减：
原式$=2×1+8×\dfrac{1}{6}+16$
$=2+\dfrac{4}{3}+16$
$=19\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{4m^2}{n^2}$；(2) $\dfrac{x^4z^5}{y^5}$；(3) $9$；(4) $19\dfrac{1}{3}$
【知识点】
整数指数幂运算；零指数幂；负整数指数幂
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心考查幂的各类运算法则的应用，解题时需特别注意指数的符号变化，严格按照运算顺序计算，最终结果要化为最简形式（负指数转化为正指数）。
【难度系数】
0.7
5. 已知$|x+y-3|+(x-y-1)^2=0$，求$\frac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$的值。
答案
解 $\because |x+y-3|+(x-y-1)^2=0,$
$\therefore \begin{cases} x+y-3=0, \\ x-y-1=0. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
$\therefore \dfrac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$
$=\dfrac{1}{2}(-x^{-2}y)^{-6}$
$=\dfrac{1}{2}(x^{12} · y^{-6})$
$=\dfrac{1}{2}×2^{12}×1^{-6}$
$=2^{11}.$
$\therefore \begin{cases} x+y-3=0, \\ x-y-1=0. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
$\therefore \dfrac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$
$=\dfrac{1}{2}(-x^{-2}y)^{-6}$
$=\dfrac{1}{2}(x^{12} · y^{-6})$
$=\dfrac{1}{2}×2^{12}×1^{-6}$
$=2^{11}.$
解析
【分析】
解题分为两大步骤：第一步利用非负数的性质求解x、y的值，绝对值和平方数都是非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到x、y的取值；第二步化简待求式后代入计算，先运用幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂的运算规则化简代数式，再代入x、y的取值计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $|x+y-3|≥0$，$(x-y-1)^2≥0$，且$|x+y-3|+(x-y-1)^2=0$
∴ $\begin{cases} x+y-3=0 \\ x-y-1=0 \end{cases}$
两式相加得$2x-4=0$，解得$x=2$，将$x=2$代入$x+y-3=0$，得$2+y-3=0$，解得$y=1$，即$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$。
再化简代数式：
$\dfrac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$
$=\dfrac{1}{2}(-x^{-2}y)^{2×(-3)}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$）
$=\dfrac{1}{2}(-x^{-2}y)^{-6}$
$=\dfrac{1}{2}× (-1)^{-6}× (x^{-2})^{-6}× y^{-6}$（积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$）
$=\dfrac{1}{2}x^{12}y^{-6}$（负数的偶次幂为正）
将$x=2,y=1$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{1}{2}×2^{12}×1^{-6}$
$=\dfrac{1}{2}×2^{12}×1$
$=2^{11}$
【答案】
$2^{11}$（或$2048$）
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，负整数指数幂运算
【点评】
本题是代数综合基础题，结合了多个基础运算知识点，解题核心是先通过非负数的性质确定未知数的取值，再准确运用幂的运算规则化简计算，运算过程中要注意指数的符号和运算法则，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
解题分为两大步骤：第一步利用非负数的性质求解x、y的值，绝对值和平方数都是非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到x、y的取值；第二步化简待求式后代入计算，先运用幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂的运算规则化简代数式，再代入x、y的取值计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $|x+y-3|≥0$，$(x-y-1)^2≥0$，且$|x+y-3|+(x-y-1)^2=0$
∴ $\begin{cases} x+y-3=0 \\ x-y-1=0 \end{cases}$
两式相加得$2x-4=0$，解得$x=2$，将$x=2$代入$x+y-3=0$，得$2+y-3=0$，解得$y=1$，即$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$。
再化简代数式：
$\dfrac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$
$=\dfrac{1}{2}(-x^{-2}y)^{2×(-3)}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$）
$=\dfrac{1}{2}(-x^{-2}y)^{-6}$
$=\dfrac{1}{2}× (-1)^{-6}× (x^{-2})^{-6}× y^{-6}$（积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$）
$=\dfrac{1}{2}x^{12}y^{-6}$（负数的偶次幂为正）
将$x=2,y=1$代入化简后的式子：
原式$=\dfrac{1}{2}×2^{12}×1^{-6}$
$=\dfrac{1}{2}×2^{12}×1$
$=2^{11}$
【答案】
$2^{11}$（或$2048$）
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，负整数指数幂运算
【点评】
本题是代数综合基础题，结合了多个基础运算知识点，解题核心是先通过非负数的性质确定未知数的取值，再准确运用幂的运算规则化简计算，运算过程中要注意指数的符号和运算法则，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 已知$a^2 - 4a + 1 = 0$，求$(a^2 - a^{-2})(a - a^{-1})$的值。
答案
解 $(a^2 - a^{-2})(a - a^{-1})$
$=(a^2-\dfrac{1}{a^2})(a-\dfrac{1}{a})$
$=(a+\dfrac{1}{a})(a-\dfrac{1}{a})^2$
$=(a+\dfrac{1}{a})[(a+\dfrac{1}{a})^2 -4].$
$\because a^2 -4a +1=0,$
$\therefore a+\dfrac{1}{a}=4,$
$\therefore 原式=4×(4^2 -4)=48.$
$=(a^2-\dfrac{1}{a^2})(a-\dfrac{1}{a})$
$=(a+\dfrac{1}{a})(a-\dfrac{1}{a})^2$
$=(a+\dfrac{1}{a})[(a+\dfrac{1}{a})^2 -4].$
$\because a^2 -4a +1=0,$
$\therefore a+\dfrac{1}{a}=4,$
$\therefore 原式=4×(4^2 -4)=48.$
解析
【分析】
首先观察所求代数式含有负整数指数幂，先根据负整数指数幂的意义将其转化为分式形式，再利用平方差公式、完全平方公式对代数式进行因式分解、变形，将其转化为含有$a+\frac{1}{a}$的形式；再处理已知方程，由于$a≠0$（若$a=0$，代入已知方程左边为1，等式不成立），将方程两边同时除以$a$即可求出$a+\frac{1}{a}$的值，最后整体代入化简后的代数式计算即可。
【解析】
首先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(a^2 - a^{-2})(a - a^{-1})&=(a^2-\frac{1}{a^2})(a-\frac{1}{a})\\&=(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})·(a-\frac{1}{a})\\&=(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})^2\end{aligned}$
根据完全平方公式变形可得$(a-\frac{1}{a})^2=(a+\frac{1}{a})^2 -4$，因此原式可化为$(a+\frac{1}{a})[(a+\frac{1}{a})^2 -4]$。
再处理已知条件：已知$a^2 -4a +1=0$，且$a≠0$，将方程两边同时除以$a$得：
$a -4 + \frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=4$。
将$a+\frac{1}{a}=4$代入化简后的式子计算：
原式$=4×(4^2 -4)=4×(16-4)=4×12=48$。
【答案】
$48$
【知识点】
负整数指数幂，乘法公式，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是将负指数幂转化为分式后，利用乘法公式对所求代数式变形，结合已知条件求出$a+\frac{1}{a}$的值后整体代入计算，避免了直接求解$a$的复杂运算，考察了代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式含有负整数指数幂，先根据负整数指数幂的意义将其转化为分式形式，再利用平方差公式、完全平方公式对代数式进行因式分解、变形，将其转化为含有$a+\frac{1}{a}$的形式；再处理已知方程，由于$a≠0$（若$a=0$，代入已知方程左边为1，等式不成立），将方程两边同时除以$a$即可求出$a+\frac{1}{a}$的值，最后整体代入化简后的代数式计算即可。
【解析】
首先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(a^2 - a^{-2})(a - a^{-1})&=(a^2-\frac{1}{a^2})(a-\frac{1}{a})\\&=(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})·(a-\frac{1}{a})\\&=(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})^2\end{aligned}$
根据完全平方公式变形可得$(a-\frac{1}{a})^2=(a+\frac{1}{a})^2 -4$，因此原式可化为$(a+\frac{1}{a})[(a+\frac{1}{a})^2 -4]$。
再处理已知条件：已知$a^2 -4a +1=0$，且$a≠0$，将方程两边同时除以$a$得：
$a -4 + \frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=4$。
将$a+\frac{1}{a}=4$代入化简后的式子计算：
原式$=4×(4^2 -4)=4×(16-4)=4×12=48$。
【答案】
$48$
【知识点】
负整数指数幂，乘法公式，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是将负指数幂转化为分式后，利用乘法公式对所求代数式变形，结合已知条件求出$a+\frac{1}{a}$的值后整体代入计算，避免了直接求解$a$的复杂运算，考察了代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
