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3*. 如图6，矩形ABCD中，AB=5 cm，BC=10 cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. P，Q同时出发，分别到B，C后停止移动，在运动的过程中，当运动时间为
$\dfrac{5}{2}$
秒时，△PQD的面积最小，其最小面积是$\dfrac{75}{4}$
cm². 答案
3. $\dfrac{5}{2},\dfrac{75}{4}$
解析
【分析】
本题是矩形中的动点求面积最值问题，解题思路如下：①先设运动时间为$ t $，结合点的运动速度表示出各相关线段的长度，确定$ t $的取值范围；②由于△PQD的面积不便直接计算，采用割补法，用矩形的总面积减去周围三个小直角三角形的面积，得到△PQD面积关于$ t $的表达式；③将表达式整理为二次函数的一般形式，结合二次函数的最值性质，即可求出面积最小时对应的$ t $值和最小面积。
【解析】
设运动时间为$ t $秒，根据点的运动限制可得$ 0≤ t≤5 $，且：
$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ PB=(5-t)\ \mathrm{cm} $，$ BQ=2t\ \mathrm{cm} $，$ QC=(10-2t)\ \mathrm{cm} $
矩形$ ABCD $的面积：$ S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=5×10=50\ \mathrm{cm}^2 $
三个小三角形的面积分别为：
$ S_{△ APD}=\frac{1}{2}× AP× AD=\frac{1}{2}× t×10=5t\ \mathrm{cm}^2 $
$ S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(5-t)×2t=(5t-t^2)\ \mathrm{cm}^2 $
$ S_{△ CDQ}=\frac{1}{2}× CD× QC=\frac{1}{2}×5×(10-2t)=(25-5t)\ \mathrm{cm}^2 $
因此△PQD的面积：
$\begin{aligned}S_{△ PQD}&=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ APD}-S_{△ BPQ}-S_{△ CDQ}\\&=50 -5t -(5t -t^2)-(25-5t)\\&=t^2 -5t +25\end{aligned}$
该式为开口向上的二次函数，在顶点处取得最小值，当$ t=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2} $时，
最小面积为$ S_{\mathrm{min}}=(\frac{5}{2})^2 -5×\frac{5}{2}+25=\frac{75}{4}\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$\dfrac{5}{2}$，$\dfrac{75}{4}$
【知识点】
二次函数的最值，割补法求面积，矩形的性质
【点评】
本题属于动点与二次函数结合的典型应用题，解题的核心是合理运用割补法表示出所求图形的面积，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际运动的限制。
【难度系数】
0.6
本题是矩形中的动点求面积最值问题，解题思路如下：①先设运动时间为$ t $，结合点的运动速度表示出各相关线段的长度，确定$ t $的取值范围；②由于△PQD的面积不便直接计算，采用割补法，用矩形的总面积减去周围三个小直角三角形的面积，得到△PQD面积关于$ t $的表达式；③将表达式整理为二次函数的一般形式，结合二次函数的最值性质，即可求出面积最小时对应的$ t $值和最小面积。
【解析】
设运动时间为$ t $秒，根据点的运动限制可得$ 0≤ t≤5 $，且：
$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ PB=(5-t)\ \mathrm{cm} $，$ BQ=2t\ \mathrm{cm} $，$ QC=(10-2t)\ \mathrm{cm} $
矩形$ ABCD $的面积：$ S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=5×10=50\ \mathrm{cm}^2 $
三个小三角形的面积分别为：
$ S_{△ APD}=\frac{1}{2}× AP× AD=\frac{1}{2}× t×10=5t\ \mathrm{cm}^2 $
$ S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(5-t)×2t=(5t-t^2)\ \mathrm{cm}^2 $
$ S_{△ CDQ}=\frac{1}{2}× CD× QC=\frac{1}{2}×5×(10-2t)=(25-5t)\ \mathrm{cm}^2 $
因此△PQD的面积：
$\begin{aligned}S_{△ PQD}&=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ APD}-S_{△ BPQ}-S_{△ CDQ}\\&=50 -5t -(5t -t^2)-(25-5t)\\&=t^2 -5t +25\end{aligned}$
该式为开口向上的二次函数，在顶点处取得最小值，当$ t=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2} $时，
最小面积为$ S_{\mathrm{min}}=(\frac{5}{2})^2 -5×\frac{5}{2}+25=\frac{75}{4}\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$\dfrac{5}{2}$，$\dfrac{75}{4}$
【知识点】
二次函数的最值，割补法求面积，矩形的性质
【点评】
本题属于动点与二次函数结合的典型应用题，解题的核心是合理运用割补法表示出所求图形的面积，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际运动的限制。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 一次足球训练中,小星从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图7所示直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)通过计算判断球能否射进球门(其他因素忽略).
1. 一次足球训练中,小星从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图7所示直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)通过计算判断球能否射进球门(其他因素忽略).
答案
1. (1)$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2)当x=0时，$y=-\dfrac{1}{12}×4+3=\dfrac{8}{3}＞2.44$，
∴球不能射进球门.
(2)当x=0时，$y=-\dfrac{1}{12}×4+3=\dfrac{8}{3}＞2.44$，
∴球不能射进球门.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线的最高点即顶点坐标，优先选用顶点式求解：首先根据题意确定顶点坐标为$(2,3)$，且抛物线过点$A(8,0)$，设顶点式后代入已知点即可求出参数$a$，得到解析式。
(2) 判断球能否进球门，球门位置对应$x=0$，只需计算$x=0$时的函数值，将其与球门高度$2.44\mathrm{m}$比较：若函数值$≤2.44$则能进球，反之不能。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，且抛物线经过点$A(8,0)$。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标得$y=a(x-2)^2+3$。
将$A(8,0)$代入上式：
$0=a(8-2)^2+3$
$0=36a+3$
解得$a=-\dfrac{1}{12}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 球门位置对应$x=0$，将$x=0$代入抛物线解析式：
$y=-\dfrac{1}{12}×(0-2)^2+3=-\dfrac{1}{12}×4+3=\dfrac{8}{3}$
因为$\dfrac{8}{3}＞2.44$，说明球到达球门位置时的高度高于球门高度，因此球不能射进球门。
【答案】
(1)$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2)球不能射进球门
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用题，解题核心是结合题意提取抛物线的关键坐标点，选择合适的解析式形式求解，再通过代入计算函数值解决实际判断问题，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线的最高点即顶点坐标，优先选用顶点式求解：首先根据题意确定顶点坐标为$(2,3)$，且抛物线过点$A(8,0)$，设顶点式后代入已知点即可求出参数$a$，得到解析式。
(2) 判断球能否进球门，球门位置对应$x=0$，只需计算$x=0$时的函数值，将其与球门高度$2.44\mathrm{m}$比较：若函数值$≤2.44$则能进球，反之不能。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，且抛物线经过点$A(8,0)$。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标得$y=a(x-2)^2+3$。
将$A(8,0)$代入上式：
$0=a(8-2)^2+3$
$0=36a+3$
解得$a=-\dfrac{1}{12}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 球门位置对应$x=0$，将$x=0$代入抛物线解析式：
$y=-\dfrac{1}{12}×(0-2)^2+3=-\dfrac{1}{12}×4+3=\dfrac{8}{3}$
因为$\dfrac{8}{3}＞2.44$，说明球到达球门位置时的高度高于球门高度，因此球不能射进球门。
【答案】
(1)$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2)球不能射进球门
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用题，解题核心是结合题意提取抛物线的关键坐标点，选择合适的解析式形式求解，再通过代入计算函数值解决实际判断问题，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 如图8,A,B,C是平面直角坐标系轴上的三个点,直线BC:y=-x+3与抛物线$y=ax^2+bx+c$交于B,C两点,$OB=3OA$,抛物线经过A,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线BC的上方,试求$△ BCN$的最大面积.
(3)在x轴上是否存在点M,使得$△ BCM$是等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线BC的上方,试求$△ BCN$的最大面积.
(3)在x轴上是否存在点M,使得$△ BCM$是等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,说明理由.
答案
2. (1)$y=-x^2+2x+3$
(2)如图，过点N作$NP⊥x$轴交直线BC于点P，设$N(n,-n^2+2n+3)$，则$P(n,-n+3)$，$\therefore NP=(-n^2+2n+3)-(-n+3)=-n^2+3n(0＜n＜3)$。$\because NP// y$轴，
∴点C到NP的距离为$x_P-x_C=n$，点B到NP的距离为$x_B-x_P=3-n$，$\therefore S_{△ BCN}=S_{△ CNP}+S_{△ BNP}=\dfrac{1}{2}n·(-n^2+3n)+\dfrac{1}{2}(3-n)·(-n^2+3n)=-\dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{9}{2}n=-\dfrac{3}{2}(n-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{8}$，
∴当$n=\dfrac{3}{2}$时，$△ BNC$的面积最大，为$\dfrac{27}{8}$。
(3)存在，M的坐标是$(0,0)$或$(-3,0)$或$(3+3\sqrt{2},0)$或$(3-3\sqrt{2},0)$。
解析
【分析】
(1) 先根据直线BC的解析式求出B、C两点的坐标，再结合OB=3OA求出A点坐标，最后将A、B、C三点代入抛物线解析式，解三元一次方程组即可得到抛物线解析式。
(2) 求△BCN最大面积可采用铅垂高法：过N作x轴垂线交BC于P，将△BCN拆分为两个同底的小三角形，用含参数的代数式表示出NP的长度，再将面积转化为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最值即可。
(3) 等腰三角形存在性问题需分三类讨论：①BC=BM；②BC=CM；③BM=CM，设出M点坐标后根据两点间距离公式列方程求解，舍去重合点即可得到所有符合条件的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+3$，令$y=0$得$x=3$，故$B(3,0)$，$OB=3$；令$x=0$得$y=3$，故$C(0,3)$。
由$OB=3OA$得$OA=1$，又A在x轴负半轴，故$A(-1,0)$。
将$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0 \\9a+3b+c=0 \\c=3\end{cases}$
解得$a=-1,b=2,c=3$，即抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 过点N作$NP⊥x$轴交直线BC于点P，设$N(n,-n^2+2n+3)$，则$P(n,-n+3)$，$\therefore NP=(-n^2+2n+3)-(-n+3)=-n^2+3n(0＜n＜3)$。$\because NP// y$轴，
∴点C到NP的距离为$x_P-x_C=n$，点B到NP的距离为$x_B-x_P=3-n$，$\therefore S_{△ BCN}=S_{△ CNP}+S_{△ BNP}=\dfrac{1}{2}n·(-n^2+3n)+\dfrac{1}{2}(3-n)·(-n^2+3n)=-\dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{9}{2}n=-\dfrac{3}{2}(n-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{8}$，
∴当$n=\dfrac{3}{2}$时，$△ BNC$的面积最大，为$\dfrac{27}{8}$。
(3) 设$M(m,0)$，$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，分三类讨论：
①当$CM=BC$时：$\sqrt{m^2+3^2}=3\sqrt{2}$，解得$m=\pm3$，$m=3$与B重合舍去，得$M(-3,0)$；
②当$BM=BC$时：$|m-3|=3\sqrt{2}$，解得$m=3\pm3\sqrt{2}$，得$M(3+3\sqrt{2},0)$、$M(3-3\sqrt{2},0)$；
③当$BM=CM$时：$|m-3|=\sqrt{m^2+3^2}$，解得$m=0$，得$M(0,0)$。
综上，符合条件的M坐标为$(0,0)$、$(-3,0)$、$(3+3\sqrt{2},0)$、$(3-3\sqrt{2},0)$。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+3$
(2)如图，过点N作$NP⊥x$轴交直线BC于点P，设$N(n,-n^2+2n+3)$，则$P(n,-n+3)$，$\therefore NP=(-n^2+2n+3)-(-n+3)=-n^2+3n(0＜n＜3)$。$\because NP// y$轴，
∴点C到NP的距离为$x_P-x_C=n$，点B到NP的距离为$x_B-x_P=3-n$，$\therefore S_{△ BCN}=S_{△ CNP}+S_{△ BNP}=\dfrac{1}{2}n·(-n^2+3n)+\dfrac{1}{2}(3-n)·(-n^2+3n)=-\dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{9}{2}n=-\dfrac{3}{2}(n-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{8}$，
∴当$n=\dfrac{3}{2}$时，$△ BNC$的面积最大，为$\dfrac{27}{8}$。
(3)存在，M的坐标是$(0,0)$或$(-3,0)$或$(3+3\sqrt{2},0)$或$(3-3\sqrt{2},0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是二次函数综合常考题型，覆盖了函数解析式求解、面积最值、动点存在性三类核心考点，解题时要熟练掌握铅垂法求面积的技巧，处理存在性问题时要做到分类不重不漏。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据直线BC的解析式求出B、C两点的坐标，再结合OB=3OA求出A点坐标，最后将A、B、C三点代入抛物线解析式，解三元一次方程组即可得到抛物线解析式。
(2) 求△BCN最大面积可采用铅垂高法：过N作x轴垂线交BC于P，将△BCN拆分为两个同底的小三角形，用含参数的代数式表示出NP的长度，再将面积转化为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最值即可。
(3) 等腰三角形存在性问题需分三类讨论：①BC=BM；②BC=CM；③BM=CM，设出M点坐标后根据两点间距离公式列方程求解，舍去重合点即可得到所有符合条件的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+3$，令$y=0$得$x=3$，故$B(3,0)$，$OB=3$；令$x=0$得$y=3$，故$C(0,3)$。
由$OB=3OA$得$OA=1$，又A在x轴负半轴，故$A(-1,0)$。
将$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0 \\9a+3b+c=0 \\c=3\end{cases}$
解得$a=-1,b=2,c=3$，即抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 过点N作$NP⊥x$轴交直线BC于点P，设$N(n,-n^2+2n+3)$，则$P(n,-n+3)$，$\therefore NP=(-n^2+2n+3)-(-n+3)=-n^2+3n(0＜n＜3)$。$\because NP// y$轴，
∴点C到NP的距离为$x_P-x_C=n$，点B到NP的距离为$x_B-x_P=3-n$，$\therefore S_{△ BCN}=S_{△ CNP}+S_{△ BNP}=\dfrac{1}{2}n·(-n^2+3n)+\dfrac{1}{2}(3-n)·(-n^2+3n)=-\dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{9}{2}n=-\dfrac{3}{2}(n-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{8}$，
∴当$n=\dfrac{3}{2}$时，$△ BNC$的面积最大，为$\dfrac{27}{8}$。
(3) 设$M(m,0)$，$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，分三类讨论：
①当$CM=BC$时：$\sqrt{m^2+3^2}=3\sqrt{2}$，解得$m=\pm3$，$m=3$与B重合舍去，得$M(-3,0)$；
②当$BM=BC$时：$|m-3|=3\sqrt{2}$，解得$m=3\pm3\sqrt{2}$，得$M(3+3\sqrt{2},0)$、$M(3-3\sqrt{2},0)$；
③当$BM=CM$时：$|m-3|=\sqrt{m^2+3^2}$，解得$m=0$，得$M(0,0)$。
综上，符合条件的M坐标为$(0,0)$、$(-3,0)$、$(3+3\sqrt{2},0)$、$(3-3\sqrt{2},0)$。
【答案】
(1)$y=-x^2+2x+3$
(2)如图，过点N作$NP⊥x$轴交直线BC于点P，设$N(n,-n^2+2n+3)$，则$P(n,-n+3)$，$\therefore NP=(-n^2+2n+3)-(-n+3)=-n^2+3n(0＜n＜3)$。$\because NP// y$轴，
∴点C到NP的距离为$x_P-x_C=n$，点B到NP的距离为$x_B-x_P=3-n$，$\therefore S_{△ BCN}=S_{△ CNP}+S_{△ BNP}=\dfrac{1}{2}n·(-n^2+3n)+\dfrac{1}{2}(3-n)·(-n^2+3n)=-\dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{9}{2}n=-\dfrac{3}{2}(n-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{8}$，
∴当$n=\dfrac{3}{2}$时，$△ BNC$的面积最大，为$\dfrac{27}{8}$。
(3)存在，M的坐标是$(0,0)$或$(-3,0)$或$(3+3\sqrt{2},0)$或$(3-3\sqrt{2},0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是二次函数综合常考题型，覆盖了函数解析式求解、面积最值、动点存在性三类核心考点，解题时要熟练掌握铅垂法求面积的技巧，处理存在性问题时要做到分类不重不漏。
【难度系数】
0.6
