【拓展思考】
问题情境:如图9,矩形MNKL是学校花园的示意图,其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形,点A,B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分,以种植不同花卉,学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计:如图10,AB=6米,AB的垂直平分线与抛物线交于点P,与AB交于点O,点P是抛物线的顶点,且PO=9米. 欣欣设计的方案如下:
第一步:在线段OP上确定点C,使∠ACB=90°,用篱笆沿线段AC,BC分隔出△ABC区域,种植串串红;
第二步:在线段CP上取点F(不与C,P重合),过点F作AB的平行线,交抛物线于点D,E. 用篱笆沿DE,CF将线段AC,BC与抛物线围成的区域分隔成三部分,分别种植不同花色的月季.
方案实施:学校采用了欣欣的方案,在完成第一步△ABC区域的分隔后,发现仅剩6米篱笆材料. 若要在第二步分隔中恰好用完6米材料,需确定DE与CF的长.为此,欣欣在图10中以AB所在直线为x轴,OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题:


(1)在图10中画出坐标系,并求抛物线的函数表达式.
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长.
(3)种植区域分隔完成后,欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰,计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图10设计矩形四个顶点的位置,其中两个顶点在抛物线上,另外两个顶点分别在线段AC,BC上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.

1. 建立如图1所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴点B的坐标为(3,0)。
∵OP=9，
∴点P的坐标为(0,9)。
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y=ax²+9。
∵点B(3,0)在抛物线y=ax²+9上，
∴9a+9=0，解得:a=-1，
∴抛物线的函数表达式为y=-x²+9(-3≤x≤3)。
2.
∵点D,E在抛物线y=-x²+9上，
∴设点E的坐标为(m,-m²+9)，
∵DE//AB，交y轴于点F，
∴DF=EF=m，OF=-m²+9，
∴DE=2m。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,OA=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴CF=OF-OC=-m²+9-3=-m²+6，根据题意，得DE+CF=6，
∴-m²+6+2m=6，解得:m₁=2,m₂=0(不符合题意，舍去),
∴m=2，
∴DE=2m=4，CF=-m²+6=-2²+6=2。即DE的长为4米，CF的长为2米。
3. 如图2，矩形灯带为GHML，
∵OC=3,OA=3，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴C(0,3),A(-3,0)。设直线AC解析式为y=kx+b，将C(0,3),A(-3,0)代入，得$\begin{cases}b=3,\\-3k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=3,\\k=1,\end{cases}$
∴直线AC解析式为y=x+3。同理可得，直线BC的表达式y=-x+3。设点G(m,-m²+9),H(-m,-m²+9),L(m,m+3),M(-m,-m+3)，则矩形周长=2(GH+GL)=2(-2m-m²+9-m-3)=-(m+1.5)²+$\frac{33}{2}$ ≤ $\frac{33}{2}$，
∴矩形周长的最大值为$\frac{33}{2}$米。

【分析】
（1）求抛物线解析式时，先根据题意确定抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标：已知AB的垂直平分线为y轴，AB长6，可得B点坐标为(3,0)，顶点P坐标为(0,9)，因此设顶点式解析式代入B点即可求解。
（2）先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质确定C点坐标，再设E点横坐标为m，利用抛物线的对称性表示出DE的长度，结合F点的纵坐标表示出CF的长度，最后根据DE+CF=6列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到结果。
（3）先求出直线AC、BC的解析式，设矩形在抛物线上的顶点坐标，依次表示出矩形另外两个顶点的坐标，用含m的代数式表示出矩形的长和宽，进而得到周长关于m的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 建立平面直角坐标系如图1所示，
∵OP是AB的垂直平分线，AB=6，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=3，即B(3,0)，
又
∵PO=9，顶点P在y轴上，
∴P(0,9)，
设抛物线的解析式为y=ax²+9，将B(3,0)代入得：
9a+9=0，解得a=-1，
∴抛物线的函数表达式为y=-x²+9（-3≤x≤3）。
(2) 设点E的坐标为(m, -m²+9)（m＞0），
∵DE//AB，交y轴于F，
∴D、E关于y轴对称，F(0, -m²+9)，
∴DE=2m，OF=-m²+9，
∵△ACB中，∠ACB=90°，O是AB中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=3，即C(0,3)，
∴CF=OF-OC=(-m²+9)-3=-m²+6，
根据题意DE+CF=6，列方程得：
2m + (-m²+6)=6，
整理得m²-2m=0，解得m₁=2，m₂=0（不符合F不与C、P重合的条件，舍去），
∴DE=2×2=4米，CF=-2²+6=2米。
(3) 先求直线AC、BC的解析式：
已知A(-3,0)，C(0,3)，设直线AC解析式为y=kx+b，代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -3k + b = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$，即直线AC：y=x+3，
同理可得直线BC解析式为y=-x+3，
设矩形在抛物线上的左顶点G为(m, -m²+9)（-3＜m＜0），则右顶点H(-m, -m²+9)，
下方两个顶点L、M横坐标分别为m、-m，分别在AC、BC上，所以L(m, m+3)，M(-m, -m+3)，
∴矩形的长GH=-2m，宽GL=(-m²+9)-(m+3)= -m² -m +6，
矩形周长$C=2×(长+宽)=2×(-2m -m² -m +6)= -2m² -6m +12$，
配方得：$C=-2(m + \frac{3}{2})² + \frac{33}{2}$，
∵-2＜0，
∴当$m=-\frac{3}{2}$时，周长取得最大值$\frac{33}{2}$米。
【答案】
1. 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+9(-3≤ x≤ 3)}$
2. DE的长为$\boldsymbol{4}$米，CF的长为$\boldsymbol{2}$米
3. 矩形周长的最大值为$\boldsymbol{\frac{33}{2}}$米
【知识点】
二次函数解析式求解；直角三角形的性质；二次函数的最值应用
【点评】
本题以实际设计场景为载体，融合了二次函数、一次函数、直角三角形性质、矩形周长计算等多个知识点，侧重考查学生将几何问题转化为代数问题的能力，解题时要注意结合图形性质表示各点坐标，同时要关注实际问题中自变量的取值范围，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6