典型例题
如图 21.2 - 9，在$□ ABCD$中，点$M$，$N$分别在边$BC$，$AD$上，且$AM// CN$，对角线$BD$分别交$AM$，$CN$于点$E$，$F$。求证：$BE = DF$。


【思路分析】连接$AC$交$BD$于点$O$，根据平行四边形的性质得到$AO = CO$，$BO = DO$，根据全等三角形的性质得到$OE = OF$，于是得到结论。
【解答】如图 21.2 - 10，连接$AC$交$BD$于点$O$。$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AO = CO$，$BO = DO$。$\because AM// CN$，$\therefore ∠ EAC = ∠ FCA$。
在$△ AEO$与$△ CFO$中，$\{\begin{array}{l}∠ EAO = ∠ FCO,\\ AO = CO,\\ ∠ AOE = ∠ COF,\end{array} $$\therefore △ AEO≌ △ CFO(ASA)$。$\therefore OE = OF$。
$\therefore BO - OE = DO - OF$。$\therefore BE = DF$。

证明：如图，连接$AC$交$BD$于点$O$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AO=CO$，$BO=DO$。
$\because AM// CN$，
$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$。
在$△ AEO$和$△ CFO$中，
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FCO\\AO=CO\\∠ AOE=∠ COF\end{array} $
$\therefore △ AEO≌△ CFO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OE=OF$。
$\because BO-OE=DO-OF$，
$\therefore BE=DF$。

1. 如图 21.2 - 11，$□ ABCD$的对角线交于点$O$，$OE⊥ AC$交$BC$于点$E$，已知$△ ABE$的周长为$3\mathrm{cm}$，则$□ ABCD$的周长为()。
A. $4\mathrm{cm}$
B. $6\mathrm{cm}$
C. $9\mathrm{cm}$
D. $12\mathrm{cm}$

1. B